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| Determinar z ∊ C tal que Z³ = conjugado de z. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=20&t=963 |
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| Autor: | cangaceiro [ 19 Oct 2012, 22:37 ] |
| Título da Pergunta: | Determinar z ∊ C tal que Z³ = conjugado de z. |
Tentei fazer mais a solução esbarra em uma equação de 4º grau da forma: ax^4 + bx^2 + cx + d. Acredito que exista uma forma mais simples de resolver por se tratar de uma questão de ensino medio. |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 20 Oct 2012, 00:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinar z ∊ C tal que Z³ = conjugado de z. |
Parece-me que tentou usar a expressão retângular de um número complexo \(z=a+ib\) Porque não usa a fórmula polar? \(z=r e^{i\alpha}\) \(z^3=\overline{z}\) então \(\left(r e^{i\alpha}\right)^3=\overline{r e^{i\alpha}}\) \(r^3 e^{3 i\alpha}=r e^{i(\alpha+\pi)}\) \(r^2 e^{3 i\alpha}=e^{i(\alpha+\pi)}\) Um complexo é igual a outro, quando os seus módulos e ângulos são iguais \(\left\{\begin{matrix} 3 i\alpha=i(\alpha+\pi)\\ r^2={1} \end{matrix}\right. \ \ r , \alpha \in \R \ \wedge \ r\geq {0} \ \wedge \ {0}\leq \alpha < {2} \pi\) \(\left\{\begin{matrix} 2 i \alpha=i \pi\\ r^2={1} \end{matrix}\right.\) \(\left\{\begin{matrix} \alpha=\pi/2 \\ r={1} \end{matrix}\right.\) O número é então \(z=1.e^{i \pi/2}=i\) e está certo, confirme que \(i^3=\overline{i}\) |
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| Autor: | cangaceiro [ 20 Oct 2012, 02:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinar z ∊ C tal que Z³ = conjugado de z. |
A sua resposta só dá uma única solução, mas na verdade são cinco e se for verificado verás que realmnente fazem parte da solução. Resposta: z = 0, ou i ou -i ou 1 ou -1 |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 21 Oct 2012, 20:20 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinar z ∊ C tal que Z³ = conjugado de z. |
Caro Fiz confusão nos conceitos. O conjugado é apenas fazer o simétrico da parte imaginária \(\overline{a+ib}=a-ib\) Ora então \(\overline{r e^{\alpha i}}=r e^{- \alpha i}\) depois o raciocínio é semelhante... \(\left(r e^{i\alpha}\right)^3=\overline{r e^{i\alpha}}\) \(r^3 e^{3 i\alpha}=r e^{-i\alpha}\) \(r^2 e^{3 i\alpha}=e^{-i\alpha}\) \(r^2 e^{3 i\alpha}e^{i\alpha}=1\) \(r^2 e^{4 i\alpha}=1\) \(r^2 e^{4 i\alpha}=e^{0.i}\) repara que quando \(\alpha=\pm \frac{\pi}{2}\) ficamos com \(e^{\pm i 2\pi }=1\) e repara que para \(r^2={1}\) temos que \(r=\pm 1\) fazendo as combinações tens esses valores... |
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