Como aplicar o Teorema de Lagrange

[Pedro Antunes]

Pergunta: Recorrendo ao teorema de Lagrange, mostre que para todo o \(x \neq 0, e^x > 1 + x\) .

Tenho de criar um intervalo para analisar?
Não sei como resolver, obrigado pela atenção.


Pedro Antunes

[Sobolev]

Suponha para já que \(x>0\) e apliquemos o teorema de Lagrange à função \(f(x)=e^x\), no intervalo \([0,x]\). Sabemos nesse caso que existe \(\xi \in ]0,x[\) tal que

\(f(x)-f(0) = f'(\xi) (x-0) \Leftrightarrow
e^x -1 = e^{\xi} x \Leftrightarrow
e^x = 1 + e^{\xi} x\)

Agora, como \(\xi >0\), temos que \(e^{\xi}>1\), pelo que \(e^{\xi} x > x\), pelo que retomando a ultima linha da fórmula anterior, concluimos que \(e^x > 1+x\).

Se \(x<0\), aplicamos o teorema no intervalo [x,0], e vemos que existe \(\xi \in ]x,0[\) tal que

\(f(0) - f(x)=f'(\xi)(0-x) \Leftrightarrow
1-e^x = -e^{\xi} x \Leftrightarrow
e^x = 1+ e^{\xi} x\)

Desta vez \(e^{\xi} <1\) mas, para \(x<0\), chega-se à mesma desigualdade.