Reta tangente a uma parábola
05 abr 2012, 22:15
Boa Noite,
Queria que me ajudassem neste exercício.
Obrigada
Queria que me ajudassem neste exercício.
Obrigada
Re: Reta tangente a uma parábola
05 abr 2012, 23:41
Olá Mariana
A função \(g(x)=-x^2+2x+3\) é representada graficamente então por uma parábola, ou seja é uma função quadrática
Repara Mariana que se a reta em apreço for tangente á parábola, ela só toca na parábola em UM único ponto, ou seja se cruzarmos os dois gráficos (reta e parábola) só há um único ponto comum. Haver graficamente um único ponto comum significa que analiticamente e equação que iguala as duas expressões tem UMA única solução.
Ou seja, para que a reta seja tangente à parábola, esta equação
\(g(x)=y(x)\)
só pode ter UMA única solução
Vamos resolver então:
\(-x^2+2x+3=-2x+7\)
\(-x^2+2x+3+2x-7=0\)
\(-x^2+4x-4=0\)
Vamos achar os zeros dessa equação pela fórmula resolvente:
\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
Neste caso \(a=-1\), \(b=4\) e \(c=-4\)
Então:
\(x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4(-1)(-4)}}{2\times (-1)}\)
\(x=\frac{-2\pm \sqrt{16-16}}{2\times (-1)}\)
\(x=\frac{-2\pm \sqrt{0}}{2\times (-1)}\)
\(x=\frac{-2\pm 0}{-2}\)
\(x=\frac{-2}{-2}\)
\(x=1\)
UMA ÚNICA solução (não tem duas)
Assim, é verdade que a reta é tangente à parábola
Para acharmos o ponto já sabemos que \(x=1\) basta achar o \(y\) através da reta
\(y=-2\times(1)+7=5\)
Assim o ponto é \((x,y)=(1,5)\)
Volta sempre Mariana
A função \(g(x)=-x^2+2x+3\) é representada graficamente então por uma parábola, ou seja é uma função quadrática
Repara Mariana que se a reta em apreço for tangente á parábola, ela só toca na parábola em UM único ponto, ou seja se cruzarmos os dois gráficos (reta e parábola) só há um único ponto comum. Haver graficamente um único ponto comum significa que analiticamente e equação que iguala as duas expressões tem UMA única solução.
Ou seja, para que a reta seja tangente à parábola, esta equação
\(g(x)=y(x)\)
só pode ter UMA única solução
Vamos resolver então:
\(-x^2+2x+3=-2x+7\)
\(-x^2+2x+3+2x-7=0\)
\(-x^2+4x-4=0\)
Vamos achar os zeros dessa equação pela fórmula resolvente:
\(x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
Neste caso \(a=-1\), \(b=4\) e \(c=-4\)
Então:
\(x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4(-1)(-4)}}{2\times (-1)}\)
\(x=\frac{-2\pm \sqrt{16-16}}{2\times (-1)}\)
\(x=\frac{-2\pm \sqrt{0}}{2\times (-1)}\)
\(x=\frac{-2\pm 0}{-2}\)
\(x=\frac{-2}{-2}\)
\(x=1\)
UMA ÚNICA solução (não tem duas)
Assim, é verdade que a reta é tangente à parábola
Para acharmos o ponto já sabemos que \(x=1\) basta achar o \(y\) através da reta
\(y=-2\times(1)+7=5\)
Assim o ponto é \((x,y)=(1,5)\)
Volta sempre Mariana
Re: Reta tangente a uma parábola
06 abr 2012, 01:41
João pimentel estava revendo sua ótima resolução desta questão e fiz os cálculos e em meus cálculos encontrei o valor de x=2 e y= 3
Se eu estiver errado desculpe-me.....
obrigado pela atenção!
Se eu estiver errado desculpe-me.....
obrigado pela atenção!
Re: Reta tangente a uma parábola
06 abr 2012, 11:19
Caro Leonardo
Muito obrigado, tem toda a razão, mea culpa
Mariana, fiz um erro na solução anterior, então é:
\(x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4(-1)(-4)}}{2\times (-1)}\)
\(x=\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2\times (-1)}\)
\(x=\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2\times (-1)}\)
\(x=\frac{-4\pm 0}{-2}\)
\(x=\frac{-4}{-2}\)
\(x=2\)
UMA ÚNICA solução (não tem duas)
Assim, é verdade que a reta é tangente à parábola
Para acharmos o ponto já sabemos que \(x=2\) basta achar o \(y\) através da reta
\(y=-2\times(2)+{7}={3}\)
Assim o ponto é \((x,y)=(2,3)\)
Mariana, podes ver os gráficos aqui e ter uma perceção mais intuititva do que se trata
Muito obrigado caro Leonardo
Muito obrigado, tem toda a razão, mea culpa
Mariana, fiz um erro na solução anterior, então é:
\(x=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4(-1)(-4)}}{2\times (-1)}\)
\(x=\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2\times (-1)}\)
\(x=\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2\times (-1)}\)
\(x=\frac{-4\pm 0}{-2}\)
\(x=\frac{-4}{-2}\)
\(x=2\)
UMA ÚNICA solução (não tem duas)
Assim, é verdade que a reta é tangente à parábola
Para acharmos o ponto já sabemos que \(x=2\) basta achar o \(y\) através da reta
\(y=-2\times(2)+{7}={3}\)
Assim o ponto é \((x,y)=(2,3)\)
Mariana, podes ver os gráficos aqui e ter uma perceção mais intuititva do que se trata
Muito obrigado caro Leonardo