Resolver log3(x^2-x)-log3(x)<=1

[xita]

agradeço ... :s

Anexos

[João P. Ferreira]

Boas

\(log_{3}(x^2-x)-log_{3}(x)\leq 1\)

Aplicamos dos dois lados da inequação a função \(3^x\)

Como esta função é sempre crescente, o sinal da inequação não muda

\(3^{log_{3}(x^2-x)-log_{3}(x)}\leq 3^1\)

\(3^{log_{3}(x^2-x)}3^{-log_{3}(x)}\leq 3^1\)

\(\frac{3^{log_{3}(x^2-x)}}{3^{log_{3}(x)}}\leq 3\)

\(\frac{x^2-x}{x}\leq 3\)

\(x^2-x \leq 3x\)

\(x^2-x - 3x \leq 0\)

É um polinómio do segundo grau com concavidade voltada para cima.
Basta achar os zeros pela fórmula resolvente das equações do segundo grau, e o conjunto solução será entre os zeros..

Saudações

[João P. Ferreira]

5.1

Sabemos que

\(f(0)=0-e^{-0}=-1 < 0\)

\(f(1)=1-e^{-1}=1-\frac{1}{e}=\frac{e-1}{e} > 0\)

Como f(0) é negativo e f(1) é positivo, e considerando que f(x) é contínua,
pelo Terorema de Bolzano sabemos que função terá pelo menos um zero, ou seja, haverá pelo menos um ponto entre 0 e 1 em que f(x)=0

Saudações

[xita]

obrigado, percebi
a primeira :D , e a 5.2? pode dar-me uma dica?

[João P. Ferreira]

Em relação ao 5.2 repare que a parcela \(-e^{-x}\) da função tende rapidamente para zero quando \(x\) tendo para infinito, assim para valores muito altos \(f(x)\) resume-se a \(x\)

Assim a assintota é \(y=x\)

Veja isto para perceber melhor

Saudações

[xita]

fantástico , muito obrigado :D