Determinar a função a partir das raízes e valor máximo

[paulocezzzar]

Olá pessoal! Minha dúvida é sobre essa questão:

Determine a função polinomial y que tem como raízes x=0, x=1,5 e x=4, e um valor máximo de y=1. Em seguida, calcule o valor mínimo da função.

Eu sei que, se a função tem três raízes, ela é do tipo y = axˆ3 + bxˆ2 + cx + d. Então o objetivo da questão seria encontrar a, b, c e d.

Substituindo x=0, eu encontro que d=0.
Substituindo x=1,5, eu encontro que 2,25a + 1,5b + c = 0
Substituindo x=4, eu encontro que 16a + 4b + c = 0

Estou com dificuldade em achar a terceira equação, para formar um sistema de 3 equações e 3 incógnitas.

Se alguém puder ajudar, eu agradeço muito! Valeu!

[Sobolev]

Se se trata de um polinómio de grau 3 com as raízes que refere então será da forma

\(p(x)= A (x-0)(x-1.5)(x-4),\)

Os possíveis extremantes (locais) são atingidos em pontos onde a derivada se anula, isto é, ficamos limitados âs seguintes possibilidades:

\(x = 2/3 \quad \vee \quad x = 3\)

Por exemplo, como f(2/3)= 50 A / 27, se escolhermos A= 27/50 o polinómio assim obtido terá um maximizante local no ponto x = 2/3, sendo o valor do máximo precisamente 1. Nesse caso o mínimo será f(3)=-243/100.

Repare no entanto que esta solução não é única... Se escolher A=-2 / 9 o polinómio atinge o valor máximo de 1 em x =3 e o valor mínimo de -100/243 em x = 2/3.