Como encontrar a Função

[Wellingtonmm]

Boa Noite!
Gostaria de uma ajuda de como proceder na seguinte questão, como encontrar a função para o esboço do gráfico, a partir dos dados do enunciado.

Anexos

capture-20131109-194411.jpg (73.76 KiB) Visualizado 1221 vezes

[danjr5]

Consideremos a função \(f(x) = ax^2 + bx + c\), onde \(a \neq 0\), temos também que \(x_v = 2\) e \(y_v = 3\). Daí,

\(\begin{cases} x_v = \frac{- b}{2a} \Rightarrow 2 = \frac{- b}{2a} \Rightarrow 4a = - b \Rightarrow \fbox{b = - 4a} \\\\ y_v = - \frac{\Delta}{4a} \Rightarrow 3 = - \frac{b^2 - 4ac}{4a} \Rightarrow 12a = - \left ( - 4a \right )^2 + 4ac \Rightarrow \fbox{c = 4a + 3} \end{cases}\)


Substituindo,

\(f(x) = ax^2 + bx + c \\ f(x) = ax^2 - 4ax + 4a + 3\)


Por conseguinte,

\(\\ g(x) = 2 \cdot f(x - 3) - 4 \\\\ g(x) = 2 \cdot \left [ a \cdot \left ( x - 3 \right )^2 - 4a \cdot \left ( x - 3 \right ) + 4a + 3 \right ] - 4 \\\\ g(x) = 2 \cdot \left ( ax^2 - 6ax + 9a - 4ax + 12a + 4a + 3 \right ) - 4 \\\\ g(x) = 2 \cdot \left ( ax^2 - 10ax + 25a + 3 \right ) - 4 \\\\ g(x) = 2ax^2 - 20ax + 50a + 2\)


Encontremos o ponto mínimo da função \(g(x)\):

\(\begin{cases} x_v = \frac{- b}{2a} \Rightarrow x_v = \frac{- (- 20a)}{4a} \Rightarrow x_v = \frac{20a}{4a} \Rightarrow \fbox{x_v = 5} \\\\ y_v = - \frac{\Delta}{4a} \Rightarrow y_v = - \frac{400a^2 - 8a(50a + 2)}{8a} \Rightarrow y_v = - \frac{- 16a}{8a} \Rightarrow \fbox{y_v = 2} \end{cases}\)


Portanto,

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[Wellingtonmm]

Muito Obrigado pela colaboração!
Valeu mesmo!