Periodicidade de função com raiz

[magicayro]

A função \(y=cos\left ( \sqrt{k}x)+\left ( sin\left ( \sqrt{k}x))/\sqrt{k}\)
com K >0 é periódica se, e somente se:

a) K pertence aos Q

b) \(\sqrt{k}\) pertence aos Q

c) K pertence aos R

A resposta correta é a letra b. Não consegui entender o porquê. Alguém, please?

[João P. Ferreira]

uma questão intrigante... tente usar a definição de função periódica

para todo o \(x, \ f(x)=f(x+T)\) onde \(T\) é o periodo

\(f(x+T)=cos\left ( \sqrt{k}x+\sqrt{k}T)+\left ( sin\left ( \sqrt{k}x+\sqrt{k}T))/\sqrt{k}\)

tente desenvolver, lembrando-se das regras trigonométricas de \(cos(a+b)\) e de \(sen(a+b)\)

[magicayro]

Obrigado mais uma vez J.P. Ferreira.
Mas resolvendo como você sugeriu eu cheguei à conclusão de que "raiz de K" pertence aos naturais
Essa, inclusive, era uma das alternativas dessa questão, mas não a correta. Posso ter feito a análise errada, mas segue como eu fiz:

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[João P. Ferreira]

pareceram-me bem as contas exceto (estou pensando alto)

\(\sqrt{k}T=2\pi n\)

\(\sqrt{k}=\frac{2\pi n}{T}\)

Fazendo \(T\) um múltiplo qualquer de \(\pi\) ficando \(T=k\pi\) tem-se

\(\sqrt{k}=\frac{2\pi n}{k\pi}=\frac{2 n}{k}\) para todo \(k,n \ \in N\) e isso é a definição dos números racionais, ou seja \(Q\)