Encontre todas as funções injetoras que satisfazemf(x+y).((fx)+f(y))=f(x.y)

[Edson Kuroda]

Conto com a ajuda de todos para me ajudar na solução do problema abaixo.

Encontre todas as funções injetoras que satisfazemf(x+y).((fx)+f(y))=f(x.y)
onde x+y diferente de 0

[josesousa]

Não tem mais dados sobre as funções ou matéria??

[Sobolev]

Um ideia para arrancar... Se a relação deve ser verdadeira para todo o x,y com x+y não nulo, então também deve ser verdadeira para y = 0 com x não nulo... Para esse caso temos que, para todo o x não nulo, se deve verificar

\(f(x)(f(x)+f(0)) = f(0) \Leftrightarrow
(f(x))^2 + f(0) f(x) - f(0)=0 \Leftrightarrow
f(x) = \dfrac{-f(0) \pm \sqrt{f^2(0) + 4f(0)}}{2}\)

Independentemente da discussão sobre quando é que a expressão está bem definida (não sabemos ao certo do enunciado, por exemplo, se f é uma função real ou complexa), ou qual o sinal a escolher, resulta claro que f deve ser constante (para x não nulo), o que contradiz a hipótese de ser injectiva.

Por isso, da forma como o problema está colocado, parece-me que simplesmente não tem solução, isto é, não existe nenhuma função nas condições pedidas.

[josesousa]

Brilhante raciocínio!