Derivadas de Funções (Possuí Gráfico)

[couldzao]

Boa tarde,

Tenho uma dúvida no exercício 13, e gostava que alguém me explicasse como se faz:

http://postimg.org/image/b9hzq643z/

(O exercício encontrasse neste site)

Obrigado
Luís Soares

[Sobolev]

Como dizem que y=f(x) é uma função quadrática, sabemos que \(y = ax^2+bx+c\). Como vemos pelo gráfico que f(0) = 0, concluímos que \(y = ax^2+bx\). A informação sobre a recta tangente dá-nos duas informações adicionais:

* Como no ponto de tangência a função coincide com a recta tangente, ficamos a saber que f(-2)=5
* Como o declive da recta tangente coincide com a derivada de f, ficamos também a saber que f'(-2)=-3

Assim,

\(a (-2)^2 +b(-2) = 5 \Leftrightarrow 4 a -2b = 5
2a (-2) + b = -3 \Leftrightarrow -4a+b = -3\)

Resolvendo este sistema de duas equações a duas incógnitas pode verificar que b = -2, a=1/4, o que permite identificar a função f.