A função terá raízes?

[Rilke]

Preciso mostrar que dentro destas condições
\(\begin{gather*}\ \\
\begin{cases}
0<E<C \\
0<i<a<u \\
uE(1+i)^x + C(a-u)>0 \\
\end{cases}\\
\end{gather*}\)
a função abaixo definida no intervalo aberto \(\left( \frac{\ln\left( \frac{\left( u-a\right) C}{u E}\right)}{\ln\left( 1+i \right)}; \quad \infty \right)\) NÃO tem raízes.
\(\begin{gather*}\ \\
T \left( x \right) = x + \frac{ \ln \left( \frac{aC}{uE(1+i)^x + C(a-u)} \right) } {\ln{(1+u)}} \\
\end{gather*}\)

Alguém tem alguma idéia?

Obrigado.

[Rilke]

Preciso mostrar que dentro destas condições
\(\begin{gather*}\ \\
\begin{cases}
0<E<C \\
0<i<a<u \\
uE(1+i)^x + C(a-u)>0 \qquad \qquad \mbox{(redundante o intervalo abaixo contempla)}\\
\end{cases}\\
\end{gather*}\)
a função abaixo definida no intervalo aberto \(\left( \frac{\ln\left( \frac{\left( u-a\right) C}{u E}\right)}{\ln\left( 1+i \right)}; \quad \infty \right)\) NÃO tem raízes.
\(\begin{gather*}\ \\
T \left( x \right) = x + \frac{ \ln \left( \frac{aC}{uE(1+i)^x + C(a-u)} \right) } {\ln{(1+u)}} \\
\end{gather*}\)

Alguém tem alguma idéia?

Obrigado.

[Rui Carpentier]

Tente acompanhar os seguintes passos:

\(T(x)=x+\frac{\ln\left(\frac{aC}{uE(1+i)^x+C(a-u)}\right)}{\ln(1+u)} = \frac{x\ln(1+u)+\ln\left(\frac{aC}{uE(1+i)^x+C(a-u)}\right)}{\ln(1+u)} =\)
\(=\frac{\ln\left((1+u)^x\right)+\ln\left(\frac{aC}{uE(1+i)^x+C(a-u)}\right)}{\ln(1+u)} =\frac{\ln\left(\frac{aC(1+u)^x}{uE(1+i)^x+C(a-u)}\right)}{\ln(1+u)}\)

Para mostrar que \(T(x)\not=0\) basta provar que \(\frac{aC(1+u)^x}{uE(1+i)^x+C(a-u)}>1\).

\(\frac{aC(1+u)^x}{uE(1+i)^x+C(a-u)}=\frac{(u+a-u)C(1+u)^x}{uE(1+i)^x+C(a-u)}=\frac{uC(1+u)^x+(a-u)C(1+u)^x}{uE(1+i)^x+C(a-u)}\)

Como u>0, temos que \((1+u)^x>1\) logo

\(\frac{(uC(1+u)^x+(a-u)C(1+u)^x}{uE(1+i)^x+C(a-u)}>\frac{(uC(1+u)^x+(a-u)C}{uE(1+i)^x+C(a-u)}\)

E de 0<i<u e 0<E<C sai que \(C(1+u)^x>E(1+i)^x\) logo

\(\frac{uC(1+u)^x+(a-u)C}{uE(1+i)^x+C(a-u)}>\frac{uE(1+i)^x+(a-u)C}{uE(1+i)^x+C(a-u)}=1\).

[Rilke]

Caro Rui, muito obrigado pelo seu tempo.

Seu desenvolvimento foi bacana, mas infelizmente não posso garantir que \((1+u)^x>0\), mesmo com \(u>0\) pois podemos ter \(x<0\).

Por exemplo se \(u=1, \: (1+u)^x = 2^x\) tomando \(x=-1\) teremos \(2^{(-1)} \: =\frac{1}{2} \: < \:1\)

Talvez dê para melhorar, estou trabalhando nisso também.

Atenciosamente,
Rilke

[Rilke]

Opsss, na mensagem anterior leia-se "não posso garantir que \((1+u)^x>1\)" e não zero como digitei.

[Sobolev]

Não é possível demonstrar o resultado, uma vez que ele é em geral falso.

Por exemplo, considerando
\(E = 1, C = 1.1
i = 0.1, a = 0.2, u = 0.3\)

Verá que T(x) tem uma raíz no intervalo considerado ( aproximadamente -1.38969 ).

[Rui Carpentier]

Caro Rui, muito obrigado pelo seu tempo.

Seu desenvolvimento foi bacana, mas infelizmente não posso garantir que \((1+u)^x>1\), mesmo com \(u>0\) pois podemos ter \(x<0\).

Por exemplo se \(u=1, \: (1+u)^x = 2^x\) tomando \(x=-1\) teremos \(2^{(-1)} \: =\frac{1}{2} \: < \:1\)

Talvez dê para melhorar, estou trabalhando nisso também.

Atenciosamente,
Rilke

Pois tens razão, além de que o meu erro não foi só esse. Como a<u, mesmo que tivesse \((1+u)^x>1\) a desigualdade seria ao contrário.

Como disse bem o Sobolev, a função T pode ter solução no intervalo dado. Por exemplo, tomando um x negativo fixo, 0<i<a<u e E>0, temos que esse x será solução de T(x)=0 caso \(C=\frac{Eu(1+i)^x}{a(1+u)^x+u-a}\). Uma vez que \(\lim_{a\to u^-}\frac{\ln\left(\frac{(u-a)C}{uE}\right)}{\ln(1+i)}=-\infty\)* e \(\lim_{a\to u^-}\frac{u(1+i)^x}{a(1+u)^x+u-a}=\frac{(1+i)^x}{(1+u)^x}>1\) (pois 0<i<u e x<0) temos que, para \(a\) suficientemente próximo de \(u\), x está no intervalo dado e C>E.

* Note-se que o primeiro limite depende do limite de C em função de a que é \(\frac{E(1+i)^x}{(1+u)^x}\) (portanto finito), logo o limite menos infinito.

PS: espero mas não garanto que as contas estejam bens feitas.

[Rilke]

Não é possível demonstrar o resultado, uma vez que ele é em geral falso.

Por exemplo, considerando
\(E = 1, C = 1.1
i = 0.1, a = 0.2, u = 0.3\)

Verá que T(x) tem uma raíz no intervalo considerado ( aproximadamente -1.38969 ).

Muito obrigado Sobolev, seu contra-exemplo foi elucidador.