Mostrar que uma função é sobrejetora

[Marcella]

Bom dia!!!

Seja \(f:A\rightarrow B\) uma função.

Mostre que f é sobrejetora se, e somente se, \(f(f^{-1}(Y))=Y\) para todo \(Y\subset B\).

[Walter R]

Qualquer que seja a função, sempre vale que \(f(f^{-1}(B))\subset B\) (fica como exercício). Para provar a inclusão contrária, suponha \(y \in B\). Como a \(f\) é sobrejetiva, existe \(x \in A\) tal que \(y=f(x)\), o que implica \(x=f^{-1}(y)\), ou seja, \(y=f(x)\in f(f^{-1}(B))\). Isto prova que quando a função é sobrejetiva, temos \(B \subset f(f^{-1}(B))\). Se a função não é sobrejetiva, pode acontecer que se tenha \(y \in B\) mas não existir \(x \in A\) tal que \(y=f(x)\). Exemplo: \(f:\left \{ 1,2 \right \}\rightarrow \left \{ 1,4,8 \right \};f(x)=x^2\). O elemento 8 pertence ao contradomínio, mas não existe x no domínio tal que \(f(x)=8.\).