função polinomial - demonstrar que |p(x)|<1
18 ago 2012, 18:16
Gostaria de uma ajuda de como resolver a situação:
Considerando a função polinomial p(x) = x³ - x,
a) mostrar que \(\left | p(x) \right |< 1\) se x ∊ [-1,1]
b) mostrar que a área A entre o eixo x e o gráfico de p(x) satisfaz A<2 para x ∊ [-1,1].
Muito obrigado!
Considerando a função polinomial p(x) = x³ - x,
a) mostrar que \(\left | p(x) \right |< 1\) se x ∊ [-1,1]
b) mostrar que a área A entre o eixo x e o gráfico de p(x) satisfaz A<2 para x ∊ [-1,1].
Muito obrigado!
Re: função polinomial
18 ago 2012, 22:58
Boas
estamos perante um polinómio, logo uma função contínua
\(p(x)=x^3-x\)
\(p(-1)=(-1)^3-(-1)=0\)
\(p(1)=1^3-1=0\)
Achemos a derivada de \(p\)
\(p'(x)=3x^2-1\)
Achemos os extremos, quando \(p'(x)=0\)
\(p'(x)=0\)
\(3x^2-1=0 \Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\)
ora como \(p'(x)=3x^2-1\) é um polinómio de grau 2, é uma parábola e como 3>0 a parábola tem concavidade para cima, se os zeros da função derivada estão em \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) e \(+\frac{1}{\sqrt{3}}\) conclui-se que
\(\left\{\begin{matrix} p'(x)>0,\ \ x<-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ p'(x)<0,\ \ -\frac{1}{\sqrt{3}}<x<\frac{1}{\sqrt{3}}\\ p'(x)>0,\ \ x>+\frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix}\right.\)
o que significa que
\(\left\{\begin{matrix} p(x) \ crescente,\ \ x<-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ p(x) \ \ decrescente,\ \ -\frac{1}{\sqrt{3}}<x<\frac{1}{\sqrt{3}}\\ p(x) \ crescente,\ \ x>+\frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix}\right.\)
considerando que \(p(-1)=p(1)=0\) a função \(p\) então tem um máximo em \(x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) e um mínimo em \(+\frac{1}{\sqrt{3}}\) no intervalo \(x \in [-1,1]\)
Como
\(p(-\frac{1}{\sqrt{3}})=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3-\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=
=-\frac{1}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\)
Conclui-se facilmente que \(\left|\frac{2}{3\sqrt{3}}\right|<1\)
O mínimo no intervalo vale
\(p(\frac{1}{\sqrt{3}})=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=
=\frac{1}{3\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{-2}{3\sqrt{3}}\)
Conclui-se facilmente também que \(\left|-\frac{2}{3\sqrt{3}}\right|<1\)
Logo \(|p(x)|<1\) em \(x\in[-1,1]\)
Vede gráfico de \(|p(x)|\) em anexo que explica bem
Cumprimentos
PS: Rogo-vos, sejam descritivos no assunto, ajudem os outros a encontrarem as vossas dúvidas
estamos perante um polinómio, logo uma função contínua
\(p(x)=x^3-x\)
\(p(-1)=(-1)^3-(-1)=0\)
\(p(1)=1^3-1=0\)
Achemos a derivada de \(p\)
\(p'(x)=3x^2-1\)
Achemos os extremos, quando \(p'(x)=0\)
\(p'(x)=0\)
\(3x^2-1=0 \Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\)
ora como \(p'(x)=3x^2-1\) é um polinómio de grau 2, é uma parábola e como 3>0 a parábola tem concavidade para cima, se os zeros da função derivada estão em \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) e \(+\frac{1}{\sqrt{3}}\) conclui-se que
\(\left\{\begin{matrix} p'(x)>0,\ \ x<-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ p'(x)<0,\ \ -\frac{1}{\sqrt{3}}<x<\frac{1}{\sqrt{3}}\\ p'(x)>0,\ \ x>+\frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix}\right.\)
o que significa que
\(\left\{\begin{matrix} p(x) \ crescente,\ \ x<-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ p(x) \ \ decrescente,\ \ -\frac{1}{\sqrt{3}}<x<\frac{1}{\sqrt{3}}\\ p(x) \ crescente,\ \ x>+\frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix}\right.\)
considerando que \(p(-1)=p(1)=0\) a função \(p\) então tem um máximo em \(x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) e um mínimo em \(+\frac{1}{\sqrt{3}}\) no intervalo \(x \in [-1,1]\)
Como
\(p(-\frac{1}{\sqrt{3}})=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3-\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=
=-\frac{1}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\)
Conclui-se facilmente que \(\left|\frac{2}{3\sqrt{3}}\right|<1\)
O mínimo no intervalo vale
\(p(\frac{1}{\sqrt{3}})=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=
=\frac{1}{3\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{-2}{3\sqrt{3}}\)
Conclui-se facilmente também que \(\left|-\frac{2}{3\sqrt{3}}\right|<1\)
Logo \(|p(x)|<1\) em \(x\in[-1,1]\)
Vede gráfico de \(|p(x)|\) em anexo que explica bem
Cumprimentos
PS: Rogo-vos, sejam descritivos no assunto, ajudem os outros a encontrarem as vossas dúvidas
- Anexos
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-
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Re: função polinomial
19 ago 2012, 21:22
Olá prof. João, muito obrigado pela ajuda, gostaria de saber se existe uma outra maneira que eu possa resolver sem usar a derivada.
Obrigado. Um abraço!
Obrigado. Um abraço!
Re: função polinomial
20 ago 2012, 13:52
Marco Roberto Escreveu:Olá prof. João, muito obrigado pela ajuda, gostaria de saber se existe uma outra maneira que eu possa resolver sem usar a derivada.
Obrigado. Um abraço!
Poderá existir mas confesso que não estou a ver pois a derivada acha os extremos da função, mas não digo que não haja...
Re: função polinomial
20 ago 2012, 16:49
Obrigado, professor!
Tava pensando em resolver pelo teorema de |a| ≤b, então -b ≤a ≤b, mas como determino as raízes de x^3 - x -1?
Agradeço imensamente se puder me ajudar.
Um abraço!
Tava pensando em resolver pelo teorema de |a| ≤b, então -b ≤a ≤b, mas como determino as raízes de x^3 - x -1?
Agradeço imensamente se puder me ajudar.
Um abraço!
Re: função polinomial
21 ago 2012, 16:28
Na verdade dá para resolver sem recorrer a derivadas:
a) \(|p(x)|=|x^3-x|=|x|\cdot |x^2-1|\). Para \(x\in [-1,1]\), temos que \(|x|\leq 1\) e \(|x^2-1|=1-x^2\leq 1\). Logo \(|p(x)|\leq 1\). Mas \(|p(x)|\) não pode ser igual a 1 para \(x\in [-1,1]\), pois \(|x|= 0\) quando \(|x^2-1|=1\) e \(|x^2-1|=0\) quando \(|x|= 1\). Concluindo, \(|p(x)|< 1\) para \(x\in [-1,1]\).
b) A área da região definida pelo gráfico de \(p\) e pelo eixo das abcissas é igual à area da região compreendida entre o gráfico de \(|p|\) e o eixo das abcissas. Como esta está contida no retângulo \([-1,1]\times [0,1]=\{(x,y):-1\leq x\leq 1 ; 0\leq y\leq 1\}\), a sua área será menor* que a área deste retângulo que é 2.
*Na verdade é um pouco mais súbtil. Sendo \(|p|\) uma função contínua terá um máximo \(m\) em \([-1,1]\) que vimos ser estritamente menor que 1. Logo a região está contida no retângulo \([-1,1]\times [0,m]\) que tem área estritamente menor que 2.
a) \(|p(x)|=|x^3-x|=|x|\cdot |x^2-1|\). Para \(x\in [-1,1]\), temos que \(|x|\leq 1\) e \(|x^2-1|=1-x^2\leq 1\). Logo \(|p(x)|\leq 1\). Mas \(|p(x)|\) não pode ser igual a 1 para \(x\in [-1,1]\), pois \(|x|= 0\) quando \(|x^2-1|=1\) e \(|x^2-1|=0\) quando \(|x|= 1\). Concluindo, \(|p(x)|< 1\) para \(x\in [-1,1]\).
b) A área da região definida pelo gráfico de \(p\) e pelo eixo das abcissas é igual à area da região compreendida entre o gráfico de \(|p|\) e o eixo das abcissas. Como esta está contida no retângulo \([-1,1]\times [0,1]=\{(x,y):-1\leq x\leq 1 ; 0\leq y\leq 1\}\), a sua área será menor* que a área deste retângulo que é 2.
*Na verdade é um pouco mais súbtil. Sendo \(|p|\) uma função contínua terá um máximo \(m\) em \([-1,1]\) que vimos ser estritamente menor que 1. Logo a região está contida no retângulo \([-1,1]\times [0,m]\) que tem área estritamente menor que 2.
Re: função polinomial
21 ago 2012, 17:02
Muito obrigado mesmo, professor, tava fazendo cálculos imensos, mas a derivada também está ótima, valeu a semana!
Re: função polinomial
01 set 2012, 02:21
João P. Ferreira Escreveu:Boas
estamos perante um polinómio, logo uma função contínua
\(p(x)=x^3-x\)
\(p(-1)=(-1)^3-(-1)=0\)
\(p(1)=1^3-1=0\)
Achemos a derivada de \(p\)
\(p'(x)=3x^2-1\)
Achemos os extremos, quando \(p'(x)=0\)
\(p'(x)=0\)
\(3x^2-1=0 \Leftrightarrow x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\)
ora como \(p'(x)=3x^2-1\) é um polinómio de grau 2, é uma parábola e como 3>0 a parábola tem concavidade para cima, se os zeros da função derivada estão em \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) e \(+\frac{1}{\sqrt{3}}\) conclui-se que
\(\left\{\begin{matrix} p'(x)>0,\ \ x<-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ p'(x)<0,\ \ -\frac{1}{\sqrt{3}}<x<\frac{1}{\sqrt{3}}\\ p'(x)>0,\ \ x>+\frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix}\right.\)
o que significa que
\(\left\{\begin{matrix} p(x) \ crescente,\ \ x<-\frac{1}{\sqrt{3}}\\ p(x) \ \ decrescente,\ \ -\frac{1}{\sqrt{3}}<x<\frac{1}{\sqrt{3}}\\ p(x) \ crescente,\ \ x>+\frac{1}{\sqrt{3}} \end{matrix}\right.\)
considerando que \(p(-1)=p(1)=0\) a função \(p\) então tem um máximo em \(x=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) e um mínimo em \(+\frac{1}{\sqrt{3}}\) no intervalo \(x \in [-1,1]\)
Como
\(p(-\frac{1}{\sqrt{3}})=\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3-\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=
=-\frac{1}{3\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3\sqrt{3}}\)
Conclui-se facilmente que \(\left|\frac{2}{3\sqrt{3}}\right|<1\)
O mínimo no intervalo vale
\(p(\frac{1}{\sqrt{3}})=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=
=\frac{1}{3\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{-2}{3\sqrt{3}}\)
Conclui-se facilmente também que \(\left|-\frac{2}{3\sqrt{3}}\right|<1\)
Logo \(|p(x)|<1\) em \(x\in[-1,1]\)
Vede gráfico de \(|p(x)|\) em anexo que explica bem
Cumprimentos
PS: Rogo-vos, sejam descritivos no assunto, ajudem os outros a encontrarem as vossas dúvidas
Conceito de derivada engloba crescimento, decrescimento e pontos críticos do gráfico de uma função.TEm como demonstrar por derivada? È correto?
Re: função polinomial
03 set 2012, 15:23
leomjr Escreveu:
Conceito de derivada engloba crescimento, decrescimento e pontos críticos do gráfico de uma função.TEm como demonstrar por derivada? È correto?
Presumo que sim. Se reparar na análise que foi feita, compreende que é possível.
Trata-se de uma função contínua. Assim, sabendo extremos locais, pode deduzir que a dita função se enquadra dentro de certos limites. Todavia foi demonstrado, pelo prof. Rui Carpentier uma forma muito mais simples e intuitiva de fazer a referida demonstração.
Cumprimentos