Encotrar o domínio e esboçar o gráfico da função

[Estudioso]

Encontre o domínio e esboce o gráfico da função \(z=ln\,\frac{\sqrt{x^2+y^2}\,-\,x}{\sqrt{x^2+y^2}\,+\,x}\)

[Sobolev]

Uma pequena ajuda...

A expressão \(sqrt{x^2+y^2}-x\) é:

1. Positiva se x < 0
2. Nula se x >= 0 e y=0
3. Nunca é negativa (note que \(\sqrt{x^2+y^2} \ge \sqrt{x^2} = |x|\))

Em resumo, é sempre >=0, sendo nula apenas na parte positiva do eixo dos xx.

A expressão \(sqrt{x^2+y^2}+x\) é:

1. Positiva se x > 0
2. Nula se x <=0 e y=0
3. Nunca é negativa

Em resumo, é sempre >=0, sendo nula apenas sobre a parte negativa do eixo dos xx.

Assim, devemos excluir do domínio a parte negativa do eixo dos xx (para que o denominador na fração não se anule) e a parte positiva do eixo dos xx (para que o numerador não se anule, fazendo com que a fração seja 0. O domínio será então todo o plano à excepção do eixo dos xx.