Extremos relativos de uma função e zeros da sua derivada [resolvida]
26 abr 2015, 12:36
Seja \(h^{'}=\frac{8x-40}{-x^{2}+10x+11}\) a expressão da derivada da função \(h\left ( x \right )=15-4\, \ln \left ( -x^{2}+10x+11 \right )\)
Como h (x) modela uma situação de contexto real, está contemplada num domínio específico, nomeadamente \(x\, \in \, [\, 0,5\, ]\)
Estude a função h relativamente à monotonia.
Proposta de resolução
\(h^{'}\left ( x \right )=0\Leftrightarrow \, \frac{8x-40}{-x^{2}+10x+11}=0\, \Leftrightarrow \, 8x-40=0\; \wedge \; -x^{2}+10x+11\, \neq \, 0\, \Leftrightarrow \, x=5\; \wedge \; \left ( x\, \neq \, 1\; \vee \; x\, \neq \, 11 \right )\, \Leftrightarrow \, x=5\)
Poderíamos ter logo concluído que o estudo da variação do sinal da derivada se faz tendo em conta apenas a expressão \(8x-40\) visto que \(-x^{2}+10x+11\) é sempre positiva qualquer que seja o valor de x pertencente ao domínio.
No entanto, na proposta de resolução que eu consultei foi utilizado o seguinte método:
Observando a tabela de variação do sinal da derivada, posso concluir que, quer x=0, quer x=10 são maximizantes da função h, mesmo que estes valores não sejam zeros da derivada de h ? Os extremos relativos de uma função não são sempre zeros da derivada da respetiva função?
Obrigada.
Como h (x) modela uma situação de contexto real, está contemplada num domínio específico, nomeadamente \(x\, \in \, [\, 0,5\, ]\)
Estude a função h relativamente à monotonia.
Proposta de resolução
\(h^{'}\left ( x \right )=0\Leftrightarrow \, \frac{8x-40}{-x^{2}+10x+11}=0\, \Leftrightarrow \, 8x-40=0\; \wedge \; -x^{2}+10x+11\, \neq \, 0\, \Leftrightarrow \, x=5\; \wedge \; \left ( x\, \neq \, 1\; \vee \; x\, \neq \, 11 \right )\, \Leftrightarrow \, x=5\)
Poderíamos ter logo concluído que o estudo da variação do sinal da derivada se faz tendo em conta apenas a expressão \(8x-40\) visto que \(-x^{2}+10x+11\) é sempre positiva qualquer que seja o valor de x pertencente ao domínio.
No entanto, na proposta de resolução que eu consultei foi utilizado o seguinte método:
Observando a tabela de variação do sinal da derivada, posso concluir que, quer x=0, quer x=10 são maximizantes da função h, mesmo que estes valores não sejam zeros da derivada de h ? Os extremos relativos de uma função não são sempre zeros da derivada da respetiva função?
Obrigada.
Re: Extremos relativos de uma função e zeros da sua derivada
26 abr 2015, 17:40
Os extremos relativos de uma função não são sempre zeros da derivada da respetiva função?
Nem sempre, a menos que o domínio seja aberto. Tudo o que podemos dizer é que um ponto no interior do domínio de uma função diferenciável é ponto de extremo local se e só se for um zero da derivada da função. Mas se o ponto for fronteiro já é possível que seja ponto de extremo local sem que a derivada se anule. Pense por exemplo na função identidade f(x)=x no intervalo [0,1], tem máximo relativo (e absoluto) em x=1 e mínimo relativo (e absoluto) em x=0.