Análise Real - Topologia Na Reta - Conjuntos Compactos

[LionelMessi]

Prove que:
a) Se \($\left ( K_{\lambda } \right )_{\lambda \in L}$\) é uma família qualquer de compactos, então \($\bigcap _{\lambda \in L}K_{\lambda }$\) é um compacto;
b) Se \($K_{1},...,K_{n}$\) são compactos, então \($K_{1}\cup ...\cup K_{n}$\) é compacto;

[Rui Carpentier]

Calculo que esteja a considerar a noção usual de compacto em \(\mathbb{R}^n\) de conjunto fechado e limitado.
Nesse caso tudo o que tem de verificar é que
a) Se \(\left ( K_{\lambda } \right )_{\lambda \in L}\) é uma família qualquer de conjuntos limitados e fechados, então \(\bigcap _{\lambda \in L}K_{\lambda }\) é um conjunto limitado e fechado;
b) Se \(K_{1},...,K_{n}\) são conjuntos limitados e fechados, então \(K_{1}\cup ...\cup K_{n}\) é um conjunto limitado e fechado;

a.1) \(\bigcap _{\lambda \in L}K_{\lambda }\) é um conjunto limitado:
Para qualquer elemento \(K_i\) da família \(\left ( K_{\lambda } \right )_{\lambda \in L}\), temos que \(\bigcap _{\lambda \in L}K_{\lambda } \subset K_i\). Logo se \(K_i\) é limitado também o é \(\bigcap _{\lambda \in L}K_{\lambda }\).

a.2) \(\bigcap _{\lambda \in L}K_{\lambda }\) é um conjunto fechado:
Tudo o que tem de ver é que qualquer intersecção de conjuntos fechados é um conjunto fechado.

b.1) \(K_{1}\cup ...\cup K_{n}\) é um conjunto limitado:
Como cada \(K_i\) é limitado existe, para cada i, um real \(r_i>0\) tal que \(K_i\subset B(0;r_i)\) (onde \(B(0;r_i)\) é a bola de raio \(r_i\) centrada na origem). Então, tomando \(r=\max\{r_1,r_2,\dots ,r_n\}\), temos que, para qualquer i, \(K_i\subset B(0;r)\) e portanto \(K_{1}\cup ...\cup K_{n}\subset B(0;r)\) (ou seja, \(K_{1}\cup ...\cup K_{n}\) é limitado).

a.2) \(K_{1}\cup ...\cup K_{n}\) é um conjunto fechado:
Tudo o que tem de ver é que qualquer união finita de conjuntos fechados é um conjunto fechado.