Verificação de quantidade de zeros em uma função quadrática

[felipe.m.fernandes]

Verifique que a função quadrática definida por:

\(f(x)=\frac{2}{a}x^2-\frac{2}{h}x+\frac{1}{b}\)

possui pelo menos um zero se a e b são as medidas dos catetos de um triângulo retângulo em que h é a medida da altura relativa à hipotenusa.

[Fraol]

Boa noite,

A quadrática terá 1 ou duas raízes se \(\Delta \geq 0\). Isto ocorre se:

\(\frac{4}{h^2}-4 \cdot \frac{2}{a} \cdot \frac{1}{b} \geq 0\)

Ao desenvolver, usando as relações do triângulo retângulo em cima do enunciado, teremos: \(2h^2 \leq ab\) e \(h = \frac{ab}{a^2+b^2}\).

Então \(2(ab)^2 \leq ab(a^2+b^2)\) que fica \(a^2+b^2 -2ab \geq 0\), que é verdade sempre. Logo a quadrática, nas condições do problema possui uma ou duas raízes reais.