Função quadrática - f(x) = ax² - 4x + a

[danjr5]

A funçao \(f\), de \(\mathbb{R}\) em \(\mathbb{R}\), dada por \(f(x) = ax^2 - 4x + a\) tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, \(f (- 2)\) e igual a:

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[danjr5]

Do enunciado, tiramos duas informações relevantes:

- a função possui um valor máximo, portanto o coeficiente de \(x^2\) é negativo, isto é, \(a < 0\);

- a função admite duas raízes reais iguais, daí o valor do discriminante é nulo, ou seja, \(\Delta = 0\).

Isto posto,

\(\\ \Delta = b^2 - 4ac \\ \Delta = (- 4)^2 - 4 \cdot a \cdot a \\ \Delta = 16 - 4a^2\)

Lembrando que \(\Delta = 0\), então:

\(\\ \Delta = 16 - 4a^2 \\ 0 = 16 - 4a^2 \\ 4a^2 = 16 \\ a^2 = 4 \\ a = \pm 2\)

Mas, já vimos que \(a < 0\); por conseguinte, podemos concluir que \(\fbox{a = - 2}\).

Com efeito, \(f(x) = - 2x^2 - 4x - 2\).

Agora, basta concluir o exercício!!

A propósito, diga-nos quanto encontrou. Até!!

Daniel Ferreira.

[professorhelio]

A funçao \(f\), de \(\mathbb{R}\) em \(\mathbb{R}\), dada por \(f(x) = ax^2 - 4x + a\) tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, \(f (- 2)\) e igual a:

Como o produto das raízes é 1 e a < 0, então a raiz só pode ser -1. Como o gráfico passa por Y no valor a, então para x = -2 (equidistante de -1 quanto zero está), o valor
de f(-2) = a. Como a soma das raízes é dada por -b/a, então a = -2.