Prova de limite infinito [ Análise Real ]

[jearaujo01]

Olá, gostaria de uma demonstração do limite abaixo

Anexos

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[Fraol]

Oi,

Vamos tomar alguns valores crescentes para \(x\) e calcular o valor da expressão \(\frac{x^2}{x+1}\).

\(x = 2 \rightarrow \frac{x^2}{x+1} = \frac{4}{3} \sim 1,33\)

\(x = 10 \rightarrow \frac{x^2}{x+1} = \frac{100}{11} \sim 9,09\)

\(x = 100 \rightarrow \frac{x^2}{x+1} = \frac{10000}{101} \sim 99,01\)

\(x = 1000 \rightarrow \frac{x^2}{x+1} = \frac{1000000}{1001} \sim 999\)

...

\(x = 1000000 \rightarrow \frac{x^2}{x+1} = \frac{1000000}{1001} \sim 999999\)

Veja que o valor vai crescendo indefinidamente e mais, veja que se aproxima cada vez mais do valor de \(x\).

Isso acontece porque \(x^2\) cresce bem mais rápido do que \(x+1\). Aliás com funções envolvendo a divisão de polinômios, quando o valor da variável \(x\) tende para o infinito o valor limite tende para a divisão dos termos de maior expoente (termos dominantes).

Assim podemos escrever que:

\(\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2}{x+1} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} {x} = \infty\)

[Fraol]

Bem, o que fiz acima não é uma prova formal.

Talvez, se for o caso, você possa usar o seguinte recurso:

\(\frac{x^2}{x+1} = \frac{x^2 \cdot (1)}{x \cdot (1 + \frac{1}{x})} = \frac{x}{1+\frac{1}{x}}\)

Daí você aplica o limite ( o numerador vai para o infinito e o denominador vai para 1 ).

Depois escreve isso de forma bem elegante que tá provado.

[jearaujo01]

Ok. Gostei da dica. Obrigada

[addlink1114]

Depois escreve isso de forma bem elegante que tá provado.
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