Funções crescentes, decrescentes, monótonas, pares, ímpares, derivadas no ponto, etc.
07 Oct 2015, 00:32
Olá, gostaria de uma demonstração do limite abaixo
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07 Oct 2015, 02:14
Oi,
Vamos tomar alguns valores crescentes para \(x\) e calcular o valor da expressão \(\frac{x^2}{x+1}\).
\(x = 2 \rightarrow \frac{x^2}{x+1} = \frac{4}{3} \sim 1,33\)
\(x = 10 \rightarrow \frac{x^2}{x+1} = \frac{100}{11} \sim 9,09\)
\(x = 100 \rightarrow \frac{x^2}{x+1} = \frac{10000}{101} \sim 99,01\)
\(x = 1000 \rightarrow \frac{x^2}{x+1} = \frac{1000000}{1001} \sim 999\)
...
\(x = 1000000 \rightarrow \frac{x^2}{x+1} = \frac{1000000}{1001} \sim 999999\)
Veja que o valor vai crescendo indefinidamente e mais, veja que se aproxima cada vez mais do valor de \(x\).
Isso acontece porque \(x^2\) cresce bem mais rápido do que \(x+1\). Aliás com funções envolvendo a divisão de polinômios, quando o valor da variável \(x\) tende para o infinito o valor limite tende para a divisão dos termos de maior expoente (termos dominantes).
Assim podemos escrever que:
\(\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2}{x+1} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^2}{x} = \lim_{x \rightarrow \infty} {x} = \infty\)
07 Oct 2015, 02:25
Bem, o que fiz acima não é uma prova formal.
Talvez, se for o caso, você possa usar o seguinte recurso:
\(\frac{x^2}{x+1} = \frac{x^2 \cdot (1)}{x \cdot (1 + \frac{1}{x})} = \frac{x}{1+\frac{1}{x}}\)
Daí você aplica o limite ( o numerador vai para o infinito e o denominador vai para 1 ).
Depois escreve isso de forma bem elegante que tá provado.
07 Oct 2015, 02:29
Ok. Gostei da dica. Obrigada
07 Oct 2015, 03:08
Depois escreve isso de forma bem elegante que tá provado.
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