questão do Iezzi funções 155

[hewertonpaes]

É dada uma função real tal que:?
f(x) * f(y) = f( x + y)
f(1) = 2
f( raiz de 2 ) = 4
Calcule f( 3 + raiz de 2)

A resposta é 32

[mpereira]

Ora, usando a primeira propriedade podemos partir a expressão a calcular num produto de f(1) e f(raiz de 2):
\(f(3+\sqrt{2})=f(3) \times f(\sqrt{2})=f(1) \times f(1) \times f(1) \times f(\sqrt{2})=2 \times 2 \times 2 \times 4=32\)

[hewertonpaes]

Muito obrigado!

[santhiago]

Bom dia a todos . Só complementando ,uma função que possui a propriedade \(f(x+y) = f(x)f(y)\) é a função f dada por \(f(x) = e^{ax}\) onde a é uma constante .

Seja \(f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) que satisfaz \(f(x+y)=f(x)f(y)\) e suponha o valor inicial dado \(f(x_0) = \lambda >0\) .

Determinando a derivada de \(f\) pela definição
\(\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f(x) \lim_{h\to 0} \frac{f(h)-1}{h}\) .Como \(f \in C^1\) (hipótese ) então o limite \(\lim_{h\to 0} \frac{f(h)-1}{h}\) é finito e existe ,digamos que ele seja \(k\) . Desta forma,

\(f'(x) = k \cdot f(x)\) . Além disso , como \(f(x_0) >0\) então \(f(x) > 0 ,\forall x\) . E assim , temos

\(\frac{d}{dx} ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)} = k\) .Tomando-se uma primitiva particular , obtemos

\(ln(f(x)) = ln \lambda + \int_{x_0}^x k ds = ln\lambda + (x-x_0)k\) . Logo ,

\(f(x) = \lambda exp([x-x_0]k)\) . Mas ,

\(f(x) = f(x+0) = f(x)f(0)\), então \(\lambda exp(-x_0 k) = 1 \Rightarrow ln(\lambda)/x_0 = k\) . E finalmente ,obtemos

\(f(x) = \lambda exp([x-x_0]ln(\lambda)/x_0) = \lambda [exp(ln(\lambda))]^{(x-x_0)/x_0} = \lambda^{x/x_0}\) .

[hewertonpaes]

Estou me deparando muito com esta propriedade F(x+y)=f(x).f(y),questões bem mais complexas,tipo do ITA,e não tenho noções de limite e essas coisas,sei que esta daí não precisou,mas outras aqui precisa!

[santhiago]

A forma mais simples é tomar como axioma \(exp(a+b) = exp a exp b\) para quaisquer que seja \(a,b \in \mathbb{R}\) .Em consequência disto , para cada número real \(k > 0\) fixado a função \(f : x \mapsto f(x)= exp (kx)\) satisfaz tal propriedade .

Também é possível utilizar técnicas de derivação para mostrar que \(f(x) = \frac{exp(kx +kb)}{exp(kx)}\) (para b fixado ) é constante e é igual \(exp(kb)\) e portanto satisfaz tal propriedade , mas como não estudou limite muito menos derivada ,não faz sentido falar sobre isto .

E claro ,também é possível demostrar a propriedade \(a^{b+c} =a^b a^c\) p/ todo a > 0 e \(b,c\) reais . Ainda não tentei,mas acho que dá para fazer nas seguintes etapas . Primeiro mostrar que a relação é verdadeira para \(b,c\) naturais (podemos fixar b e utilizar indução sobre c) e de forma análoga ,mostrar que a relação também é verdadeira p/ b,c inteiros .Agora,esta próxima etapa seria um pouco mais complicada , seria mostra que a relação se verifica para \(b,c\) racionais e por último mostrar a propriedade vale para c,b reais quaisquer.