Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde

Gostaria de perguntar aos colegas qual o procedimento para encontrar a função logarítmica de um gráfico que apresenta os seguintes valores:

x ; y

5,38 ; 1,30
5,84 ; 1,37
6,16 ; 1,46
6,49 ; 1,54


Grato pela atenção!

Boa tarde!

Pode usar técnica chamada regressão linear. No caso, como quer uma curva logarítmica, deve pensar na função:
\(y=a+b\log x\)

Para tanto, nesta função, terá que tomar os logaritmos dos valores de x, e utilizá-los depois para o cálculo.
Tabela:
\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
\hline
n & x & u = \log x & y & u^2 & uy\\
\hline
1 & 5,38 & 0,730782 & 1,30 & 0,534042 & 0,950017\\
2 & 5,84 & 0,766413 & 1,37 & 0,587389 & 1,049986\\
3 & 6,16 & 0,789581 & 1,46 & 0,623438 & 1,152788\\
4 & 6,49 & 0,812245 & 1,54 & 0,659742 & 1,250857\\
\hline
\sum & - & 3,099021 & 5,67 & 2,404611 & 4,403648\\
\hline
\end{array}\)

Agora, resolver o seguinte para obter b:
\(b=\dfrac{n\sum uy-\sum u \sum y}{n\sum u^2-\left(\sum u\right)^2}=\dfrac{4\cdot 4,403648-3,099021\cdot 5,67}{4\cdot 2,404611-\left(3,099021\right)^2}\therefore\boxed{b\approx 2,972742}\)

E agora o valor de a:
\(a=\overline{y}-b\overline{u}=\dfrac{5,67}{4}-2,972742\cdot\dfrac{3,099021}{4}\therefore\boxed{a\approx -0,885647}\)

Portanto, a equação ficou:
\(\color{red}{\boxed{\boxed{y\approx -0,885647+2,972742\log x}}}\)

Espero ter ajudado!

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Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Bom dia Baltuilhe

Primeiramente, muito obrigado pela resposta. Muito completa e didática.
Sobre este exercício, eu tentei resolver ele como uma função exponencial. Encontrei os valores de a e b e joguei na função: b*a^x=y (0,52818*1,17946^x).
Com esta função, eu encontrei os valores de y. Será que esta função não é exponencial e eu estava analisando de forma errada, pensando que era logarítimica?

Bom dia!

Confesso que não analisei qual seria a melhor função para os dados informados. Para isso, existe um número, chamado de regressão, que informa o quão 'bem' estão os pontos.
É um número bom como parâmetro, mas para saber qual a melhor curva a se adaptar precisa fazer todas as hipóteses possíveis, antes de saber. É mais ou menos fazer todas as curvas... e escolher o melhor R (coeficiente de regressão).

Fazendo em um computador, fica mais fácil. Existe uma função no excel, nos gráficos, chamada linha de tendência, que calcula esse fator. É só procurar a que tem o maior, e, para esse conjunto de dados, é a exponencial:
\(y=a\cdot e^{bx}\)

Para este tipo de curva, precisamos aplicar ln em ambos os lados:
\(\ln y=\ln\left(a\cdot e^{bx}\right)\\
\ln y=\ln a+bx\)

Veja que o coeficiente a será calculado como lna.

Então:
Tabela:
\(\begin{array}{c|c|c|c|c|c}
\hline
n & x & y & u = \ln y & x^2 & xu & u^2\\
\hline
1 & 5,38 & 1,30 & 0,262364 & 28,9444 & 1,411518 & 0,068835\\
2 & 5,84 & 1,37 & 0,314811 & 34,1056 & 1,838496 & 0,099106\\
3 & 6,16 & 1,46 & 0,378436 & 37,9456 & 2,331166 & 0,143214\\
4 & 6,49 & 1,54 & 0,431782 & 42,1201 & 2,802265 & 0,186436\\
\hline
\sum & 23,87 & - & 1,387393 & 143,1157 & 8,383445 & 0,497591\\
\hline
\end{array}\)

Agora, resolver o seguinte para obter b:
\(b=\dfrac{n\sum xu-\sum x \sum u}{n\sum x^2-\left(\sum x\right)^2}=\dfrac{4\cdot 8,383445-23,87\cdot 1,387393}{4\cdot 143,1157-\left(23,87\right)^2}\therefore\boxed{b\approx 0,155147}\)

E agora o valor de a:
\(\ln a=\overline{u}-b\overline{x}=\dfrac{1,387393}{4}-0,155147\cdot\dfrac{23,87}{4}\therefore\boxed{a\approx 0,560463}\)

Portanto, a equação ficou:
\(\color{red}{\boxed{\boxed{y\approx 0,560363\cdot e^{0,155147x}}}}\)

Que é similar a:
\(\color{red}{\boxed{\boxed{y\approx 0,560363\cdot 1,167830^{x}}}}\)

Para ficar a conta, vou deixar o cálculo do R aqui, ok?
\(R=\dfrac{n\sum xu-\sum x \sum u}{\sqrt{n\sum x^2-\left(\sum x\right)^2}\cdot\sqrt{n\sum u^2-\left(\sum u\right)^2}}\\
R=\dfrac{4\cdot 8,383445-23,87\cdot 1,387393}{\sqrt{4\cdot 143,1157-\left(23,87\right)^2}{4\cdot 0,497591-\left(1,387393\right)^2}}\\
\boxed{R\approx 0,993464}\)

Quanto mais próximo de 1, em módulo, melhor!

Espero ter ajudado (de novo)!

_________________
Baltuilhe
"Nós somos o que fazemos repetidamente. Excelência, então, não é um modo de agir, é um hábito." Aristóteles

Brilhante!!

Obrigado mais uma vez pela resposta e pelos muitos detalhes!!

Deus te abençoe!!