Boa noite!
A função \(f(x)=3x^4-4x^3\) tem derivada:
\(f'(x)=4(3x^{4-1})+3(-4x^{3-1})
f'(x)=12x^3-12x^2
f'(x)=12x^2(x-1)\)
Para obter os pontos críticos igualamos a derivada a zero:
\(f'(x){=}0
12x^2(x-1){=}0
x{=}0\text{ ou }x-1{=}0
x{=}1\)
Analisando o sinal de f'(x):
\(x<0\to f'(x)<0\text{ funcao decrescente}
x=0\to f'(x)=0\text{ nem maximo, nem minimo}
0<x<1\to f'(x)<0\text{ funcao decrescente}
x=1\to f'(x)=0\text{ ponto de minimo}
x>1\to f'(x)>0\text{ funcao crescente}\)
Análise da derivada segunda:
\(f''(x)=3(12x^{3-1})+2(-12x^{2-1})
f''(x)=36x^2-24x
f''(x)=12x(3x-2)\)
Para obter os possíveis pontos de inflexão igualamos a derivada segunda a zero:
\(f''(x){=}0
12x(3x-2){=}0
x{=}0\text{ ou }3x-2{=}0
x{=}\frac{2}{3}\)
Analisando o sinal de f''(x):
\(x<0\to f''(x)>0\text{ concavidade para cima}
x=0\to f''(x)=0\text{ ponto de inflexao}
0<x<\frac{2}{3}\to f''(x)<0\\text{ concavidade para baixo}
x=\frac{2}{3}\to f''(x)=0\text{ ponto de inflexao}
x>\frac{2}{3}\to f''(x)>0\text{ concavidade para cima}\)
Portanto:
Um ponto de mínimo em x=1 e dois pontos de inflexão em x=0 e x=2/3
Vou deixar vc tentar a função \(f(x)=3x^4+4x^3-12x^2+2\) para treinar, mas deixo a resposta abaixo se precisar!
Spoiler:
Espero ter ajudado!