Como fazer o estudo completo deuma função
06 abr 2016, 22:29
Como fazer o estudo completo desta função:
ps: estudo analítico
\(f(x)=x+ln(frac{1}{x})\)
Obrigada
ps: estudo analítico
\(f(x)=x+ln(frac{1}{x})\)
Obrigada
Re: Como fazer o estudo completo deuma função
07 abr 2016, 16:27
\(f(x)=x - \ln x\)
\(D_f = \{x \in \mathbb{R}: x>0\} = ]0, +\infty[\)
Assimptotas:
\(\lim_{x \to 0^+} (x- \ln x) = +\infty\)
logo x = 0 é uma assimptota vertical.
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{x-\ln x}{x} = 1\)
\(\lim_{x \to +\infty} ((x-\ln x) - x) =\lim_{x \to +\infty} -\ln x = - \infty\)
logo f não tem assimptotas não verticais.
Monotonia e extremos:
\(f'(x)=0 \Leftrightarrow 1- \frac 1x = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
A derivada é negativa em ]0,1[, anula-se em x=1, sendo depois positiva em \(]1, +\infty\). Assim, a função é decrescente até x=1, onde atinge um mínimo, sendo depois crescente.
Concavidade/ convexidade:
\(f''(x)=\frac {1}{x^2} > 0\). Como a segunda derivada é positiva em todo o domínio a função é convexa (concavidade voltada para cima).
Juntando tudo isto pode esboçar o gráfico da função...
\(D_f = \{x \in \mathbb{R}: x>0\} = ]0, +\infty[\)
Assimptotas:
\(\lim_{x \to 0^+} (x- \ln x) = +\infty\)
logo x = 0 é uma assimptota vertical.
\(\lim_{x \to +\infty} \frac{x-\ln x}{x} = 1\)
\(\lim_{x \to +\infty} ((x-\ln x) - x) =\lim_{x \to +\infty} -\ln x = - \infty\)
logo f não tem assimptotas não verticais.
Monotonia e extremos:
\(f'(x)=0 \Leftrightarrow 1- \frac 1x = 0 \Leftrightarrow x = 1\)
A derivada é negativa em ]0,1[, anula-se em x=1, sendo depois positiva em \(]1, +\infty\). Assim, a função é decrescente até x=1, onde atinge um mínimo, sendo depois crescente.
Concavidade/ convexidade:
\(f''(x)=\frac {1}{x^2} > 0\). Como a segunda derivada é positiva em todo o domínio a função é convexa (concavidade voltada para cima).
Juntando tudo isto pode esboçar o gráfico da função...
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