Quais as condições a que deve satisfazer m para que o número 1 esteja entre as raízes da função f(x) = mx² -2(m + 1)x + m² ?

Gente, encontrei uma solução na internet, apenas uma, em outros lugares ninguem conseguiu em encontrar o resultado correto. O problema é que essa solução não explicou a lógica por tras da pergunta e pelo que eu li, por ser uma questão antiga quase não se ensina mais como se resolve esse tipo de problema, o que eu pude perceber, já que li 3 cápitulos diferentes em 3 livros, vi videoaulas no youtube etc e nem sinal de como se resolve isso.
Bom, segundo a pessoa que resolveu esse problema, toda vez que a > 0, f(1) < 0 ou toda vez que a < 0, f(1) > 0. Vou postar a imagem do gráfico que prova isso:

Se \(m>0\) a parábola tem a concavidade voltada para cima, por isso a condição de 1 estar entre as raizes é equivalente a termos \(f(1) \leq 0\). Mas

\(f(1) \leq 0 \Leftrightarrow m^2-m-2 \leq 0 \Leftrightarrow m \in [1- \sqrt{3}, 1+ \sqrt{3}]\)

Portanto, se m for positivo devemos ter \(m \in ]0, 1+ \sqrt{3}[\)

Se \(m < 0\) a paráboloa tem a concavidade voltada para baixo e a condição e 1 estar entre as raizes é \(f(1) \ge 0\). Novamente,

\(f(1) \ge 0 \Leftrightarrow m^2-m-2 \ge 0 \Leftrightarrow m \in ]-\infty, 1- \sqrt{3}] \cup [1+ \sqrt{3}, +\infty[\)

Portanto, se m for negativo devemos ter \(m \in ]-\infty, 1- \sqrt{3}]\).

Juntando as duas condições, concluímos que ( se \(m \ne 0\)) devemos ter

\(m \in ]-\infty,1-\sqrt{3}] \cup ]0, 1+ \sqrt{3}]\)