Função do 1º e 2º grau, conjuntos e intervalo.

[ludwing]

Sejam f e g funções definidas por f(x) = \(sqrt{(25)^x - 2(5)^x -15}\) e g(x) = \(x^2 - x -35/4\). Se A é o conjunto que representa o domínio da função f e B = {\(x \in R \mid g(x) \leq 0\)}, o conjunto \(A^c \cap B\) é:

Spoiler:

{\({x \in R \mid -5/2 \leq x < 1}\)}

[3,14159265]

Quais os zeros da função B?

Delta = (-1)²-4*1*(-35/4) = 36

x = [-(-1) +- 6]/2 = -2,5 ou 3,5

O conjunto B = {x E R | -2,5 <= x <= 3,5}

O conjunto complementar de A são os valores de x para que tudo que tiver dentro da raiz seja negativo, pois esses são os valores fora do domínio de f(x).

Vamos agora colocar 5^x em evidência:

(5^x)² - 2*5^x - 15

Vamos chamar agora 5^x de z e igualar a zero.

z² -2z - 15 = 0

Delta = (-2)² - 4*1*(-15) = 64

z = [-(-2) +- 8]/2 = -3 ou 5

Substituindo pra achar x:

5^x = 5
x = 1

5^x = -3 (não existe x pra que essa equação seja verdadeira)

Conclusão: o conjunto complementar de A é { x E R | x < 1}, pois qualquer valor de x menor que 1 vai gerar um valor negativo dentro da raiz, fazendo f(x) não existir no campo dos reais, ou seja, valores menores do que 1 não fazem parte do domínio de f(x).

Agora precisamos da interseção do complementar de A com B:

Ac = { x E R | x < 1}
B = {x E R | -2,5 <= x <= 3,5}

Resposta: {x E R | -2,5 <= x < 1 }

[3,14159265]

Só faltou explicar que pra achar os valores de B eu calculei os zeros da função e disse que tudo que estava entre eles era menor do que zero. Isso porque trata-se de uma parábola de concavidade voltada para cima, pois a > 0.

[ludwing]

Só faltou explicar que pra achar os valores de B eu calculei os zeros da função e disse que tudo que estava entre eles era menor do que zero. Isso porque trata-se de uma parábola de concavidade voltada para cima, pois a > 0.

Quebrei a cabeça ontem o dia todo e hoje de madrugada consegui achar o mesmo resultado que você, mas sempre fica aquela dúvida, porque não encontrei essa questão na internet e a minha apostila que é de 2014 as vezes tem alguns erros nas questões. Se alguém um dia esbarrar com essa questão tenho certeza que a sua resolução ajudará bastante, muito obrigado!