Calculo de limites de funcoes racionais (Indeterminacao ∞/∞)

[dininis]

Boas!
Estou em altas hoje com os limites... Esta e so para confirmar:
Exercicio: Calcular o seguinte
\(\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^{2}-3x}{x^{2}+7}\)

Da forma tradicional, e suposto chegar a indeterminacao \(\frac{\infty}{\infty}\)
Porem eu chego ao seguinte:
\(\lim_{x\to+\infty}\frac{5(+\infty)^{2}-3(+\infty)}{(+\infty)^{2}+7}\;=\;\lim_{x\to+\infty}\frac{\infty-\infty}{\infty}\)
A menos que eu esteja a fazer algo mal, o livro implica que isso resulta em \(\frac{\infty}{\infty}\) e procede a respetiva resolucao. (Este problema e resolvido, passo a passo, e o resultado seria 5)

Estou a assumir que \(-3(+\infty)=-\infty\)

[lucasgg]

O limite não é indeterminado, entretanto eu não achei um caminho fácil para desenvolver esse exercício.
Suspeitei da indeterminação porque as duas equações são de segundo grau. Se você quer chegar ao \(\frac{\infty}{\infty}\), então veja que \(5x^2-3x = (5x-3)x\)

Demonstrando o resultado 5:

\(\frac{5x^2-3x}{x^2+7} = 5\frac{x^2-\frac{3}{5}x}{x^2+7} = 5\frac{x^2-\frac{3}{5}x+7-7}{x^2+7} = 5 - \frac{3x - 35}{x^2+7} = 5 - \frac{3x - 35}{(x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})} = 5 - \frac{x - \sqrt{7} + x - \sqrt{7} + x - \sqrt{7} - (35-3\sqrt{7})}{(x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})}\)

\(= 5 - \frac{x - \sqrt{7}}{(x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})} - \frac{x - \sqrt{7}}{(x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})} - \frac{x - \sqrt{7}}{(x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})} + \frac{35-3\sqrt{7}}{(x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})} = 5 - \frac{1}{x+\sqrt{7}} - \frac{1}{x+\sqrt{7}} - \frac{1}{x+\sqrt{7}} + \frac{35-3\sqrt{7}}{x^2+7}\)

Portanto \(\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2-3x}{x^2+7} = \lim_{x \to +\infty} {5 - \frac{1}{x+\sqrt{7}} - \frac{1}{x+\sqrt{7}} - \frac{1}{x+\sqrt{7}} + \frac{35-3\sqrt{7}}{x^2+7}} = 5 - 0 - 0 - 0 + 0 = 5\)

[dininis]

Se você quer chegar ao \(\frac{\infty}{\infty}\), então veja que [t]

\(\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^{2}-3x}{x^{2}+7}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x(5x-3)}{x^{2}+7}=\frac{+\infty(5(+\infty)-3)}{(+\infty)^{2} +7}=\frac{+\infty(+\infty)}{+\infty}=\frac{\infty}{\infty}\)

Okay, era isso mesmo :P

Quanto a resolucao, o livro providencia uma bem mais simples, utilizando um teorema especifico para este tipo de problema (indeteminacao ∞/∞) que diz o seguinte:

Se f e uma funcao racional definida por \(f(x)=\frac{A(x)}{B(x)}\), entao \(\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_{0}x^{n}}{b_{0}x^{m}}\), sendo \(a_{0}x^{n}\) e \(b_{0}x^{m}\) os monomios de grau mais elevado dos polinomios \(A(x)\) e \(B(x)\), respetivamente

Com isso,
\(\lim_{x\to+\infty}\frac{5x^{2}-3x}{x^{2}+7}=\lim_{x\to+\infty}(\frac{5x^{2}}{x^{2}})=5\)

A minha duvida era mesmo como e que o livro estava a chegar ao ∞/∞
Cheers!