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Continuidade de uma função num ponto - Calcular k
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=21&t=10917		 Página 1 de 1
Autor:  dininis [ 17 abr 2016, 22:18 ]
Título da Pergunta:  Continuidade de uma função num ponto - Calcular k
Boas!
Tenho o seguinte problema:

Para um certo valor de k, é continua em IR a função f definida por:
\(f(x)=\begin{Bmatrix} 1 & se\;\;x \leq 0\\ \frac{1}{x}(e^{kx}-1) & se\;\;x> 0 \end{Bmatrix}\)

Qual é o valor de k?

Sei que para um função ser contínua em k, \(\lim_{x\to k}f(x)=f(k)\)
Autor:  dininis [ 17 abr 2016, 23:22 ]
Título da Pergunta:  Re: Continuidade de uma função num ponto - Calcular k
O meu desenvolvimento tem sido o seguinte:

\(\lim_{x\to 0^-}f(x)=1\)
\(\lim_{x\to0^+}f(x)=\frac{1}{0^+}(e^{k(0^+)-1})=\frac{e^{k(0^+)-1}}{0^+}=\frac{1^+-1}{0^+}=\frac{0^+}{0^+}=1\)

Segundo isso, o k é indiferente... Mas o livro afirma que não...
What do i do?!

Pelo grafico consigo verificar que, por alguma razao, o valor de k vai indicar o ponto de intersecção de f no eixo Y, indicando que k terá que ser igual a 1. Mas, como faço isso analiticamente?
Autor:  Sobolev [ 17 abr 2016, 23:26 ]
Título da Pergunta:  Re: Continuidade de uma função num ponto - Calcular k
O problema está no cálculo do limite... 0/0 não é necessariamente 1. Tem que levantar a indeterminação usando, por exemplo, a regra de L'hopital.

\(\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{kx}-1}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{ke^{kx}}{1} = k\)
Autor:  dininis [ 18 abr 2016, 01:33 ]
Título da Pergunta:  Re: Continuidade de uma função num ponto - Calcular k
http://www.clube.spm.pt/arquivo/2774 Escreveu:
Ou seja, a regra de Cauchy e a regra de L’Hôpital que poderiam ser usadas para levantar uma indeterminação, deixam de poder ser utilizadas, assim como qualquer outro processo não abrangido pelo programa. Incluídos nestes processos “proibidos” estão, por exemplo, as regras dos senos e a dos co-senos, que também não fazem parte do programa.
Esta alteração aqui apresentada foi confirmada no documento informativo emitido pelo IAVE em Dezembro passado, sobre o Exame Nacional de Matemática A.

Acho que essa regra não consta no programa... Sendo assim, como é que posso resolver isto?
Análise gráfica?
Autor:  Sobolev [ 18 abr 2016, 08:03 ]
Título da Pergunta:  Re: Continuidade de uma função num ponto - Calcular k
Bom dia,

Mesmo quando a regra de L'hopital não faz parte do programa costuma-se referir alguns "limites notáveis". Por acaso não terá sido refrido nas aulas que

\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} =1, \cdots\) ?
Autor:  Sobolev [ 18 abr 2016, 09:51 ]
Título da Pergunta:  Re: Continuidade de uma função num ponto - Calcular k  [resolvida]
Também pode socorrer-se da definição de derivada:

Se \(f(x)=e^x\), então

\(f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}\)

mas como \(f'(0) = e^0 = {1}\) chega ao valor do limite. Com uma pequana adaptação calcula o seu limite.
Autor:  dininis [ 28 abr 2016, 19:56 ]
Título da Pergunta:  Re: Continuidade de uma função num ponto - Calcular k
\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1\) Essa conheço, sim. (Pelo livro, dado que não tive Matemática A, e não tenho horário para explicações :/)
Neste exercício, como é que se poderia aplicar isso?

\(\lim_ {x\to0^+}\frac{1}{x}(e^{kx}-1)=\lim_{x\to0^+} \frac{e^{kx}-1}{x}\)


Sobolev Escreveu:
Também pode socorrer-se da definição de derivada:

Se \(f(x)=e^x\), então

\(f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}\)

mas como \(f'(0) = e^0 = {1}\) chega ao valor do limite. Com uma pequana adaptação calcula o seu limite.

Essa é, supostamente, a parte da matéria seguinte :)
Autor:  dininis [ 28 abr 2016, 19:59 ]
Título da Pergunta:  Re: Continuidade de uma função num ponto - Calcular k
Por alguma razão a página não carregou os ultimos comentários... Já vi a resposta!

Thanks :P
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