Continuidade de uma função num ponto - Calcular k
17 abr 2016, 22:18
Boas!
Tenho o seguinte problema:
Para um certo valor de k, é continua em IR a função f definida por:
\(f(x)=\begin{Bmatrix} 1 & se\;\;x \leq 0\\ \frac{1}{x}(e^{kx}-1) & se\;\;x> 0 \end{Bmatrix}\)
Qual é o valor de k?
Sei que para um função ser contínua em k, \(\lim_{x\to k}f(x)=f(k)\)
Tenho o seguinte problema:
Para um certo valor de k, é continua em IR a função f definida por:
\(f(x)=\begin{Bmatrix} 1 & se\;\;x \leq 0\\ \frac{1}{x}(e^{kx}-1) & se\;\;x> 0 \end{Bmatrix}\)
Qual é o valor de k?
Sei que para um função ser contínua em k, \(\lim_{x\to k}f(x)=f(k)\)
Re: Continuidade de uma função num ponto - Calcular k
17 abr 2016, 23:22
O meu desenvolvimento tem sido o seguinte:
\(\lim_{x\to 0^-}f(x)=1\)
\(\lim_{x\to0^+}f(x)=\frac{1}{0^+}(e^{k(0^+)-1})=\frac{e^{k(0^+)-1}}{0^+}=\frac{1^+-1}{0^+}=\frac{0^+}{0^+}=1\)
Segundo isso, o k é indiferente... Mas o livro afirma que não...
What do i do?!
Pelo grafico consigo verificar que, por alguma razao, o valor de k vai indicar o ponto de intersecção de f no eixo Y, indicando que k terá que ser igual a 1. Mas, como faço isso analiticamente?
\(\lim_{x\to 0^-}f(x)=1\)
\(\lim_{x\to0^+}f(x)=\frac{1}{0^+}(e^{k(0^+)-1})=\frac{e^{k(0^+)-1}}{0^+}=\frac{1^+-1}{0^+}=\frac{0^+}{0^+}=1\)
Segundo isso, o k é indiferente... Mas o livro afirma que não...
What do i do?!
Pelo grafico consigo verificar que, por alguma razao, o valor de k vai indicar o ponto de intersecção de f no eixo Y, indicando que k terá que ser igual a 1. Mas, como faço isso analiticamente?
Re: Continuidade de uma função num ponto - Calcular k
17 abr 2016, 23:26
O problema está no cálculo do limite... 0/0 não é necessariamente 1. Tem que levantar a indeterminação usando, por exemplo, a regra de L'hopital.
\(\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{kx}-1}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{ke^{kx}}{1} = k\)
\(\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{kx}-1}{x} = \lim_{x \to 0}\frac{ke^{kx}}{1} = k\)
Re: Continuidade de uma função num ponto - Calcular k
18 abr 2016, 01:33
http://www.clube.spm.pt/arquivo/2774 Escreveu:Ou seja, a regra de Cauchy e a regra de L’Hôpital que poderiam ser usadas para levantar uma indeterminação, deixam de poder ser utilizadas, assim como qualquer outro processo não abrangido pelo programa. Incluídos nestes processos “proibidos” estão, por exemplo, as regras dos senos e a dos co-senos, que também não fazem parte do programa.
Esta alteração aqui apresentada foi confirmada no documento informativo emitido pelo IAVE em Dezembro passado, sobre o Exame Nacional de Matemática A.
Acho que essa regra não consta no programa... Sendo assim, como é que posso resolver isto?
Análise gráfica?
Re: Continuidade de uma função num ponto - Calcular k
18 abr 2016, 08:03
Bom dia,
Mesmo quando a regra de L'hopital não faz parte do programa costuma-se referir alguns "limites notáveis". Por acaso não terá sido refrido nas aulas que
\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} =1, \cdots\) ?
Mesmo quando a regra de L'hopital não faz parte do programa costuma-se referir alguns "limites notáveis". Por acaso não terá sido refrido nas aulas que
\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} =1, \cdots\) ?
Re: Continuidade de uma função num ponto - Calcular k [resolvida]
18 abr 2016, 09:51
Também pode socorrer-se da definição de derivada:
Se \(f(x)=e^x\), então
\(f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}\)
mas como \(f'(0) = e^0 = {1}\) chega ao valor do limite. Com uma pequana adaptação calcula o seu limite.
Se \(f(x)=e^x\), então
\(f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}\)
mas como \(f'(0) = e^0 = {1}\) chega ao valor do limite. Com uma pequana adaptação calcula o seu limite.
Re: Continuidade de uma função num ponto - Calcular k
28 abr 2016, 19:56
\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1\) Essa conheço, sim. (Pelo livro, dado que não tive Matemática A, e não tenho horário para explicações :/)
Neste exercício, como é que se poderia aplicar isso?
\(\lim_ {x\to0^+}\frac{1}{x}(e^{kx}-1)=\lim_{x\to0^+} \frac{e^{kx}-1}{x}\)
Essa é, supostamente, a parte da matéria seguinte
Neste exercício, como é que se poderia aplicar isso?
\(\lim_ {x\to0^+}\frac{1}{x}(e^{kx}-1)=\lim_{x\to0^+} \frac{e^{kx}-1}{x}\)
Sobolev Escreveu:Também pode socorrer-se da definição de derivada:
Se \(f(x)=e^x\), então
\(f'(0) = \lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}\)
mas como \(f'(0) = e^0 = {1}\) chega ao valor do limite. Com uma pequana adaptação calcula o seu limite.
Essa é, supostamente, a parte da matéria seguinte
Re: Continuidade de uma função num ponto - Calcular k
28 abr 2016, 19:59
Por alguma razão a página não carregou os ultimos comentários... Já vi a resposta!
Thanks :P
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