Determinar m na equação Quadratica

[Elber Clidio]

Determinar m da equação de 2° grau mx² + 2(m-1)x - m -1=0 para que se tenha uma unica raiz entre -1 e 2

os casos são :
caso I: -1<x1<2<x2

caso II: x1<-1<x2<2
Consigo ate chegar nos cálculos , mas na hora da intersecções não estou conseguindo

a resposta do livro é m<3/2 e m#0 ou m>3

[Elber Clidio]

Determinar m da equação de 2° grau mx² - 2(m-1)x - m -1=0 para que se tenha uma unica raiz entre -1 e 2

os casos são :
caso I: -1<x1<2<x2

caso II: x1<-1<x2<2
Consigo ate chegar nos cálculos , mas na hora da intersecções não estou conseguindo

a resposta do livro é m<3/2 e m#0 ou m>3

[Elber Clidio]

Corrigindo o enunciado

Determinar m da equação de 2° grau mx² - 2(m-1)x - m -1=0 para que se tenha uma unica raiz entre -1 e 2

os casos são :
caso I: -1<x1<2<x2

caso II: x1<-1<x2<2
Consigo ate chegar nos cálculos , mas na hora da intersecções não estou conseguindo

a resposta do livro é m<3/2 e m#0 ou m>3

[Siversx]

Again, I feel good to have mentioned this one again on this site.

[jorgeluis]

Elber,
\(mx^2-2(m-1)x-m-1=0\)

1^o) para que a equação admita uma única raiz (ou melhor, 2 raízes reais e iguais):
\(\Delta =0 \Leftrightarrow x=\frac{-b}{2a}\)
logo,
\(x=\frac{-b}{2a}
x=\frac{-\left [ -2(m-1) \right ]}{2m}
x=\frac{2(m-1)}{2m}
x=\frac{(m-1)}{m}\)

colocando no intervalo, temos:
1)
\(x>{-1}
\frac{(m-1)}{m}>{-1}
m-1>-m
-1>-2m\)
multiplicando a inequação por -1, invertemos o operador:
\(\frac{1}{2}< m\)

2)
\(x< 2
\frac{(m-1)}{m}< 2
m-1< 2m
-1< m\)

Solução:
\(S=\left \{ x \in \mathbb{R}/{x}'={x}'',\Leftrightarrow -1< m \neq 0\right \}\)

[jorgeluis]

Elber,
outra visão, para 2 raízes reais e distintas, é substituir o \(x\) da equação pelos pontos dados pelo intervalo \(]-1,2[\) e analisar o sinal da função, assim, temos:

1º para
\(x_1={-1}, a>{0}, y<{0}
mx^2-2(m-1)x-m-1<{0}
m+2(m-1)-m-1<{0}
m<\frac{3}{2}\)

2º para
\(x_2={2}, a>{0}, y<{0}
mx^2-2(m-1)x-m-1<{0}
4m-4(m-1)-m-1<{0}
m>3\)

3º para
\(x_1={-1}, a>{0}, y\geq{0}
mx^2-2(m-1)x-m-1\geq{0}
m+2(m-1)-m-1\geq{0}
m\geq\frac{3}{2}\)

4º para
\(x_2={2}, a>{0}, y\geq{0}
mx^2-2(m-1)x-m-1\geq{0}
4m-4(m-1)-m-1\geq{0}
m\leq 3\)

como, a questão pede \(m\) no intervalo de \(x\) quando \(y<0\) (interior da parábola), então, basta fazer a interseção:
\(x\cap m= ]-1,2[ \cap [\frac{3}{2},3]
x\cap m= [\frac{3}{2},2[\)

logo, o conjunto solução é:
\(S=\left\{x \in \mathbb {R}/-1<x_1<2,e, -1\geq x_2 \geq 2 \Leftrightarrow \frac{3}{2}\leq m<2,e, m\neq {0} \right\}\)