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Menor valor de uma expressão (função 2grau) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=21&t=13223 |
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Autor: | Rodrigues1964 [ 05 Oct 2017, 18:24 ] |
Título da Pergunta: | Menor valor de uma expressão (função 2grau) |
Se x e y são numeros reais positivos e não nulos, tais que x+1=1, calcule o menor valor que a expressão \(1+\frac{2}{xy}\) pode assumir. |
Autor: | Estanislau [ 05 Oct 2017, 22:28 ] |
Título da Pergunta: | Re: Menor valor de uma expressão (função 2grau) |
Rodrigues1964 Escreveu: x+1=1 Tem a certeza? Explique a dificuldade. |
Autor: | Baltuilhe [ 06 Oct 2017, 04:23 ] |
Título da Pergunta: | Re: Menor valor de uma expressão (função 2grau) |
Boa noite! Rodrigues, seria \(x+y=1\)? Neste caso, a solução seria: Isolando uma das variáveis (y, por exemplo): \(y=1-x\) Agora, podemos montar uma função em x: \(f(x)=1+\dfrac{2}{x(1-x)}\) Analisando a função (Domínio): \(D{=}\{x\in \mathbb{R} \setminus x \neq 0 \vee x \neq 1\}\) Nestes pontos: \(\lim_{x\to 0-} f(x)=-\infty \lim_{x\to 0+} f(x)=+\infty \lim_{x\to 1-} f(x)=+\infty \lim_{x\to 1+} f(x)=-\infty\) Limites no infinito: \(\lim_{x\to-\infty} f(x)=1 \lim_{x\to+\infty} f(x)=1\) Para obtermos (algum) menor valor da expressão, podemos derivar e igualar a zero: \(f'(x)=(1)'+\dfrac{(2)'\cdot [x(1-x)]-2\cdot [x(1-x)]'}{[x(1-x)]^2} f'(x)=\dfrac{-2[(x)'(1-x)+x(1-x)']}{x^2(1-x)^2} f'(x)=\dfrac{-2[1-x+x(-1)]}{x^2(1-x)^2} f'(x)=\dfrac{4x-2}{x^2(1-x)^2} f'(x)=0 4x-2=0 4x=2 x=\dfrac{1}{2}\) Analisando o sinal da derivada: \(x<\dfrac{1}{2}\Rightarrow f'(x)<0 x>\dfrac{1}{2}\Rightarrow f'(x)>0\) Então, como a derivada passa de negativa para positiva, \(x=\dfrac{1}{2}\) é um ponto de mínimo (local). Calculando o menor valor (local): \(f(x)=1+\dfrac{2}{x(1-x)} f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1+\dfrac{2}{\dfrac{1}{2}\cdot\left(1-\dfrac{1}{2}\right)} f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1+\dfrac{2}{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}} f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1+\dfrac{2}{\dfrac{1}{4}} f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1+8 f\left(\dfrac{1}{2}\right)=9\) Espero ter ajudado! |
Autor: | Rodrigues1964 [ 07 Oct 2017, 00:59 ] |
Título da Pergunta: | Re: Menor valor de uma expressão (função 2grau) |
Opa, uma pequena correção, é x+y=1 no lugar de x+1=1. A dificuldade é que esse exercício é de uma lista de função do 2grau e não entendi onde podemos resolver por meio de equação do 2grau. Estou observando sua resolução Baltuilhe. Obrigado. |
Autor: | Estanislau [ 07 Oct 2017, 18:15 ] |
Título da Pergunta: | Re: Menor valor de uma expressão (função 2grau) [resolvida] |
Então a expressão fica \(1 + \frac{2}{x(1-x)}\), onde x ∈ (0, 1) (x < 1 para que y seja positivo). Como o denominador é positivo, é mais ou menos claro (pelo menos, para mim), que a expressão atinge o menor valor quando o denominador atingir o maior valor. Pronto, o denominador é quadrático. Encontre a ordenada do vértice e mencione que a abscissa pertence ao interval (0, 1). |
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