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Funções crescentes, decrescentes, monótonas, pares, ímpares, derivadas no ponto, etc.
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Área do retangulo em função de X

05 Oct 2017, 18:33

Considere um retangulo com perímetro 10cm e X é a medida de um dos lados. Determine:

a) a área do retangulo em função de X (achei aqui 2,5, não sei se está certo)
b) o valor de X para o qual a área do retangulo é máxima.

Re: Área do retangulo em função de X

05 Oct 2017, 22:26

O que é 2,5? A resposta a b)? Está certo. Tem mais dúvidas?

Re: Área do retangulo em função de X

06 Oct 2017, 00:13

Boa noite!

a)
Perímetro 10cm = soma de todos os lados igual a 10cm
Retângulo com um dos lados igual a X e vamos arbitrar o outro lado Y.
Então:
\(x+y+x+y=10
2x+2y=10
x+y=10/2
x+y=5
y=5-x\)

Então, a área do retângulo em função de X:
\(A=x\cdot y
A=x\cdot(5-x)
A=5x-x^2\)

b)
Para obtermos a área máxima podemos derivar a equação da área e verificarmos se realmente é um ponto de máximo.
\(A'=5-2x=0
5-2x=0
2x=5
x=\dfrac{5}{2}
x=2,5\)

Agora, para verificarmos se é um ponto de máximo ou de mínimo, podemos utilizar a regra da derivada segunda. Se esta for positiva, ponto de mínimo, se negativa, ponto de máximo.
\(A''=-2<0\text{ Ponto de maximo!}\)

Espero ter ajudado!

Re: Área do retangulo em função de X

06 Oct 2017, 00:27

Baltuilhe, qual é o intuito de escrever tudo isso? Parece que Rodrigues1964 já tinha chegado ao resultado correto. Neste caso é ainda menos claro que tipo de ajuda ele queria obter. Ou escrever uma solução detalhada é uma ajuda universal?

Re: Área do retangulo em função de X

06 Oct 2017, 00:35

A propósito, o seu raciocínio é um bocado impreciso. Nem sempre uma função atinge o valor máximo num ponto onde a derivada evanesce, nem num ponto de máximo local. Até pode acontecer que não tenha o valor máximo. Aliás, para a função fazer sentido geometricamente, é preciso restringir o domínio.

Re: Área do retangulo em função de X

06 Oct 2017, 02:21

Boa noite!

Meu caro Estanislau, a ajuda que Rodrigues1964 queria obter é a de ver uma solução, acredito eu, pois assim poderia comparar o que fez e verificar o que errou. Solução detalhada é uma forma de ajudar, sim. Aprendi muito na vida lendo soluções para problemas que não sabia resolver.
Agora, com relação a solução que apresentei não entendi o que quis dizer com derivada evanesce... seria derivada igual a zero? Neste caso, para esta função \(A=5x-x^2\) como deveria ter feito, então, para ter o valor máximo? Como pode acontecer para que não tenha o valor máximo?

Obrigado por ajudar!

Re: Área do retangulo em função de X

07 Oct 2017, 00:46

é que estou com uma lista de funções do segundo grau, e na maioria das vezes não acho um jeito de modelar a questão para uma forma quadrática do tipo ax²+bx+c, encaixar valores minimos e máximos (confundo X do vertice com Y do vertice). o Baltuilhe deu uma explicação bacan mas tá a frente, não entendo de calculo integral nem derivadas. A materia que estou fazendo é pré-calculo. Nessa questão, a letra B entendi o que se pede mas não tenho ideia de como resolver, a letra A achei aquele valor (2,5) para a área, mas o Baltuilhe deu o valor para a letra B...

Re: Área do retangulo em função de X

07 Oct 2017, 00:48

Era para ter respondido ontem, mas me avisaram que atingi o numero maximo de perguntas por dia (só queria responder ao meu próprio tópico kkkkk)

Re: Área do retangulo em função de X  [resolvida]

07 Oct 2017, 17:57

Rodrigues1964, a resposta a a) não pode ser um número, é precisamente uma função quadrática. A cada X corresponde um valor da área, isto é uma função. Só que na verdade X não pode ser um número qualquer. A medida de um lado não pode ser nem negativa, nem maior do que o perímetro. Quer dizer, você só considera a função no intervalo (0, 10).

Ora o valor de X é a abscissa do vértice da parábola, que, por acaso, é igual a 2,5. Também vale a pena mencionar que este valor pertence ao interval (0, 10), isto é, faz sentido geometricamente.

@Baltuilhe

Expôs com demasiadas detalhes a solução de um sistema linear, mas subentende muito no que tem a ver com a análise e a lógica da solução. Acho que valia a pena pelo menos mencionar (talvez sem justificação) as seguintes questões:

1. Qual é o domínio da função? Caso considere uma estensão da função, vale a pena mencionar isto também.

2. A função é continua e continuamente diferenciável, o que permite aplicar técnicas do cálculo.

3. O problema é encontrar o valor máximo global, mas você só encontrou um ponto de máximo local sem justificar que na verdade era o que procurava.

Se considerar uma função continua num intervalo fechado e continuamente diferenciável no interior do intervalo, a teoria geral garante que o valor máximo (e mínimo) é atingido numa extremidade do intervalo ou num ponto interior onde a derivada é igual a 0. Por isso, uma estratégia é encontrar todos os pontos interiores onde a derivada é 0, e comparar os valores nestes pontos com os nas extremidades do intervalo.

Se o domínio não for um interval fechado, até a existência do valor máximo não é automática. Se calhar, o mais simples será estudar a monotonia da função.

Peço desculpa pelo offtopic.
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