Funções crescentes, decrescentes, monótonas, pares, ímpares, derivadas no ponto, etc.
05 dez 2017, 21:12
Um paralelepípedo reto-retângulo tem dimensões a,b e 10cm. Encontrar o volume máximo se a soma dos comprimentos das arestas vale 64cm.
(OBS> Devo começar a resolução por sistema? ou da pra deduzir diretamente pelo Y do vértice?)
07 dez 2017, 00:53
Boa noite!
Sendo um paralelepípedo este tem 12 arestas. A soma dos comprimentos será:
\(4a+4b+4\cdot 10=64
4(a+b+10)=64
a+b+10=\dfrac{64}{4}=16
a+b=16-10
\fbox{a+b=6}\)
Agora o volume:
\(V=10ab\)
Podemos isolar a variável b, por exemplo, da primeira equação:
\(b=6-a
V=10ab=10a(6-a)
V=60a-10a^2\)
Agora, podemos derivar e obter o valor de a que torna V um máximo (ou mínimo):
\(V'=60-20a=0
20a=60
a=\dfrac{60}{20}=3\)
Agora, como a função derivada é uma reta decrescente, para valores menores do que 3 a reta tem valores para V' positivos, para valores maiores do que 3 a reta tem valores para V' negativo, então a=3 é um ponto de MÁXIMO.
a=3
b=3
c=10
Essas são as dimensões para com soma de arestas 64 ter o maior volume possível.
Espero ter ajudado!
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