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Calcular volume máximo de um paralelepipedo de lados a, b e 10cm
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Autor:  Rodrigues1964 [ 05 dez 2017, 21:12 ]
Título da Pergunta:  Calcular volume máximo de um paralelepipedo de lados a, b e 10cm

Um paralelepípedo reto-retângulo tem dimensões a,b e 10cm. Encontrar o volume máximo se a soma dos comprimentos das arestas vale 64cm.
(OBS> Devo começar a resolução por sistema? ou da pra deduzir diretamente pelo Y do vértice?)

Autor:  Baltuilhe [ 07 dez 2017, 00:53 ]
Título da Pergunta:  Re: Calcular volume máximo de um paralelepipedo de lados a, b e 10cm

Boa noite!

Sendo um paralelepípedo este tem 12 arestas. A soma dos comprimentos será:
\(4a+4b+4\cdot 10=64
4(a+b+10)=64
a+b+10=\dfrac{64}{4}=16
a+b=16-10
\fbox{a+b=6}\)

Agora o volume:
\(V=10ab\)

Podemos isolar a variável b, por exemplo, da primeira equação:
\(b=6-a
V=10ab=10a(6-a)
V=60a-10a^2\)

Agora, podemos derivar e obter o valor de a que torna V um máximo (ou mínimo):
\(V'=60-20a=0
20a=60
a=\dfrac{60}{20}=3\)

Agora, como a função derivada é uma reta decrescente, para valores menores do que 3 a reta tem valores para V' positivos, para valores maiores do que 3 a reta tem valores para V' negativo, então a=3 é um ponto de MÁXIMO.
a=3
b=3
c=10

Essas são as dimensões para com soma de arestas 64 ter o maior volume possível.

Espero ter ajudado!

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