Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! https://forumdematematica.org/ |
|
Encontrar função logarítmica a partir de um gráfico https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=21&t=14270 |
Página 1 de 1 |
Autor: | clau_elet [ 22 fev 2020, 23:43 ] |
Título da Pergunta: | Encontrar função logarítmica a partir de um gráfico |
Boa tarde Gostaria de perguntar aos colegas qual o procedimento para encontrar a função logarítmica de um gráfico que apresenta os seguintes valores: x ; y 5,38 ; 1,30 5,84 ; 1,37 6,16 ; 1,46 6,49 ; 1,54 Grato pela atenção! |
Autor: | Baltuilhe [ 23 fev 2020, 20:00 ] |
Título da Pergunta: | Re: Encontrar função logarítmica a partir de um gráfico |
Boa tarde! Pode usar técnica chamada regressão linear. No caso, como quer uma curva logarítmica, deve pensar na função: \(y=a+b\log x\) Para tanto, nesta função, terá que tomar os logaritmos dos valores de x, e utilizá-los depois para o cálculo. Tabela: \(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \hline n & x & u = \log x & y & u^2 & uy\\ \hline 1 & 5,38 & 0,730782 & 1,30 & 0,534042 & 0,950017\\ 2 & 5,84 & 0,766413 & 1,37 & 0,587389 & 1,049986\\ 3 & 6,16 & 0,789581 & 1,46 & 0,623438 & 1,152788\\ 4 & 6,49 & 0,812245 & 1,54 & 0,659742 & 1,250857\\ \hline \sum & - & 3,099021 & 5,67 & 2,404611 & 4,403648\\ \hline \end{array}\) Agora, resolver o seguinte para obter b: \(b=\dfrac{n\sum uy-\sum u \sum y}{n\sum u^2-\left(\sum u\right)^2}=\dfrac{4\cdot 4,403648-3,099021\cdot 5,67}{4\cdot 2,404611-\left(3,099021\right)^2}\therefore\boxed{b\approx 2,972742}\) E agora o valor de a: \(a=\overline{y}-b\overline{u}=\dfrac{5,67}{4}-2,972742\cdot\dfrac{3,099021}{4}\therefore\boxed{a\approx -0,885647}\) Portanto, a equação ficou: \(\color{red}{\boxed{\boxed{y\approx -0,885647+2,972742\log x}}}\) Espero ter ajudado! |
Autor: | clau_elet [ 25 fev 2020, 16:01 ] |
Título da Pergunta: | Re: Encontrar função logarítmica a partir de um gráfico |
Bom dia Baltuilhe Primeiramente, muito obrigado pela resposta. Muito completa e didática. Sobre este exercício, eu tentei resolver ele como uma função exponencial. Encontrei os valores de a e b e joguei na função: b*a^x=y (0,52818*1,17946^x). Com esta função, eu encontrei os valores de y. Será que esta função não é exponencial e eu estava analisando de forma errada, pensando que era logarítimica? |
Autor: | Baltuilhe [ 25 fev 2020, 17:49 ] |
Título da Pergunta: | Re: Encontrar função logarítmica a partir de um gráfico |
clau_elet Escreveu: Bom dia Baltuilhe Primeiramente, muito obrigado pela resposta. Muito completa e didática. Sobre este exercício, eu tentei resolver ele como uma função exponencial. Encontrei os valores de a e b e joguei na função: b*a^x=y (0,52818*1,17946^x). Com esta função, eu encontrei os valores de y. Será que esta função não é exponencial e eu estava analisando de forma errada, pensando que era logarítimica? Bom dia! Confesso que não analisei qual seria a melhor função para os dados informados. Para isso, existe um número, chamado de regressão, que informa o quão 'bem' estão os pontos. É um número bom como parâmetro, mas para saber qual a melhor curva a se adaptar precisa fazer todas as hipóteses possíveis, antes de saber. É mais ou menos fazer todas as curvas... e escolher o melhor R (coeficiente de regressão). Fazendo em um computador, fica mais fácil. Existe uma função no excel, nos gráficos, chamada linha de tendência, que calcula esse fator. É só procurar a que tem o maior, e, para esse conjunto de dados, é a exponencial: \(y=a\cdot e^{bx}\) Para este tipo de curva, precisamos aplicar ln em ambos os lados: \(\ln y=\ln\left(a\cdot e^{bx}\right)\\ \ln y=\ln a+bx\) Veja que o coeficiente a será calculado como lna. Então: Tabela: \(\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \hline n & x & y & u = \ln y & x^2 & xu & u^2\\ \hline 1 & 5,38 & 1,30 & 0,262364 & 28,9444 & 1,411518 & 0,068835\\ 2 & 5,84 & 1,37 & 0,314811 & 34,1056 & 1,838496 & 0,099106\\ 3 & 6,16 & 1,46 & 0,378436 & 37,9456 & 2,331166 & 0,143214\\ 4 & 6,49 & 1,54 & 0,431782 & 42,1201 & 2,802265 & 0,186436\\ \hline \sum & 23,87 & - & 1,387393 & 143,1157 & 8,383445 & 0,497591\\ \hline \end{array}\) Agora, resolver o seguinte para obter b: \(b=\dfrac{n\sum xu-\sum x \sum u}{n\sum x^2-\left(\sum x\right)^2}=\dfrac{4\cdot 8,383445-23,87\cdot 1,387393}{4\cdot 143,1157-\left(23,87\right)^2}\therefore\boxed{b\approx 0,155147}\) E agora o valor de a: \(\ln a=\overline{u}-b\overline{x}=\dfrac{1,387393}{4}-0,155147\cdot\dfrac{23,87}{4}\therefore\boxed{a\approx 0,560463}\) Portanto, a equação ficou: \(\color{red}{\boxed{\boxed{y\approx 0,560363\cdot e^{0,155147x}}}}\) Que é similar a: \(\color{red}{\boxed{\boxed{y\approx 0,560363\cdot 1,167830^{x}}}}\) Para ficar a conta, vou deixar o cálculo do R aqui, ok? \(R=\dfrac{n\sum xu-\sum x \sum u}{\sqrt{n\sum x^2-\left(\sum x\right)^2}\cdot\sqrt{n\sum u^2-\left(\sum u\right)^2}}\\ R=\dfrac{4\cdot 8,383445-23,87\cdot 1,387393}{\sqrt{4\cdot 143,1157-\left(23,87\right)^2}{4\cdot 0,497591-\left(1,387393\right)^2}}\\ \boxed{R\approx 0,993464}\) Quanto mais próximo de 1, em módulo, melhor! Espero ter ajudado (de novo)! |
Autor: | clau_elet [ 26 fev 2020, 01:33 ] |
Título da Pergunta: | Re: Encontrar função logarítmica a partir de um gráfico [resolvida] |
Brilhante!! Obrigado mais uma vez pela resposta e pelos muitos detalhes!! Deus te abençoe!! |
Página 1 de 1 | Os Horários são TMG [ DST ] |
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group https://www.phpbb.com/ |