g)\(f(x)=\frac{x^2 + 1}{x - 1}\)
Quando falamos de derivada de uma função apresentada sob a forma de fração, seguimos a seguinte fórmula:
f(x)=g/h
f'(x)=(derivada de g * h - derivada de h * g)/(h^2)
desse modo na letra g) teremos:
\(f'(x)=\frac{2x(x-1) -1(x^2+1) }{(x - 1)^2}\)
\(f'(x)=\frac{2x^2 - 2x -x^2 - 1) }{(x^2 - 2x +1}\)
\(f'(x)=\frac{x^2 - 2x - 1 }{x^2 - 2x +1}\)
j) \(f(x)= sinxcosx\)
no caso de função produto a regra para derivação é a seguinte:
f(x) = g*h
f'(x) = derivada de g*h + derivada de h*g
sabemos que:
a derivada de senx é cosx
e que a derivada de cosx é -senx
logo,
f'(x)=cos^2(x) - sen^2(x)
m)\(f(x) = xe^{-2x}\)
usaremos aqui a regra do produto, novamente.
sabemos que:
a derivada de x é 1 (usa-se a regra do expoente - a derivada de x^n é n*x^(n-1) )
a derivada de e^-2x é -2*e^2x (usa-se a regra que afirma que a derivada de e^q é igual a derivada de q*e^q, ou seja, q'(e^q) )
f'(x)= e^(-2x) - 2x*e^(-2x)
p)\(f(x)=x^2.cos(x+1)\)
usaremos, novamente, a regra do produto.
sabemos que:
a derivada de x^2 é 2x
a derivada de cos(x+1) é sen(x+1) (a derivada das funções trigonométricas é feita da seguinte maneira -> f=cos(u) -> f'=u'*(-sen(u)).
f'(x)= -x^(2)*sen(x+1)
Espero que tenha ajudado!
