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DÚVIDAS? Nós respondemos!

Peço ajuda para entender a resolução da questão abaixo.

Dúvidas da questão:
1) o que significa "a função associa o menor entre os números (x+5)/2 e 20-x";

2) como a pessoa concluiu que o valor máximo da função ocorre quando os números (x+5)/2 e 20-x são iguais.




(Senado Federal 2008/FGV) A função f, para cada real x, associa o menor
entre os números (x+5)/2 e 20-x. Por exemplo, f(1)=3 e f(15)=5 . O valor
máximo de f:
a) 8
b) 17/2
c) 25/3
d) 35/4
e) 44/5

Resolução
Já que a função associa o menor entre os números
(x+5)/2 e 20-x, o valor máximo da função é dado quando os números são iguais:

(x+5)/2=20-x
x+5 = 40-2x
3x=35
x=35/3

O valor da função f é máximo quando x = 35/3. Podemos substituir este valor
em qualquer uma das duas expressões(já que são iguais para x = 35/3).

\(f (35/3)= 20 - 35/3 = (60 - 35)/3 = 25/3\)

Gabarito: C

Bom, podemos pensar da seguinte forma:
as duas expressões apresentadas resultam em funções do 1ºgrau. Elas se igualam para x = 35/3. Ok.
Então necessariamente para \(\LARGE x<\frac{35}{3}\Rightarrow \frac{x+5}{2}<20-x\) e \(\LARGE x>\frac{35}{3}\Rightarrow \frac{x+5}{2}>20-x\)

Podemos, então escrever a função da seguinte forma:
\(\LARGE f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x+5}{2};x\leq\frac{35}{3} \\20-x;x\geq\frac{35}{3} \end{matrix}\right.\)

Em x = 35/3 a função faz um 'bico', e assume seu valor máximo. Isso ocorre por uma razão: a função f assume o menor valor entre as duas funções auxiliares.
Observe: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% ... 2B5%7D%2F2
Recomendo que faça um esboço.

Daí para encontrar o valor máximo é simples, só calcular \(\LARGE f\left ( \frac{35}{3} \right )=\frac{25}{3}.\)

Espero ter ajudado.

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"A Matemática é a linguagem com o qual Deus escreveu o universo"
Galileu Galilei

Muito obrigada!

Também encontrei questão semelhante a essa na internet. Inclusive, a resolução para a questão segue o mesmo raciocínio da sua.

Segue o link para quem estiver interessado (Questão 87): http://www.etapa.com.br/gabaritos/resol ... T2003m.pdf