Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

A janela de uma igreja consiste de um retangulo com um semicirculo em cima e deve ter um perimetro P. Ache o raio do simicirculo para que a area da janela seja maxima

Cara Jucyara, eu não sei a resposta, mas vamos indo passo a passo para vermos se, com a ajuda dos outros amigos, cheguemos a um caminho pelo menos.

\(\text{Fiz uma alteracao na aritmetica porque havia cometido um erro, dentre outros que ainda nao detectei possivelmente}\)

Devo entender que o perímetro 'P' da janela corresponde à soma de três lados do retângulo com o comprimento de arco que faz o semicírculo.

Vamos chamar de 'x' ao lado menor do retângulo e de 'y' ao lado maior.

Assim, o perímetro 'P' será

\(P = x + 2y + \frac{2\pi r}{2}\)

Como o arco de circunferência está sobre o lado menor, arbitrando isto, 'r' passa a ser \(\frac{x}{2}\):

\(P= x + 2y + \frac{2\pi\frac{x}{2}}{2}=x + 2y + \frac{2\pi x}{2}=x+2y+\pi x\)

A área 'A' total (a área da janela) compreende a área do retângulo e a área do semicírculo, ou seja

\(A = xy+\frac{\pi r^2}{2}\)

Podemos transformar o 'y' da área pelo 'y' do perímetro:

\(P-x-\pi x = 2y\)

Isto é

\(y=\frac{P-x-\pi x}{2}\)

Em 'A' aproveitamos o 'y' acima para termos apenas uma incógnita 'x':

\(A=x\times(\frac{P-x-\pi x}{2})+{\frac{\pi r^2}{2}}\)

O raio 'r' já arbitramos ser a metade de x:

\(A=x\times(\frac{P-x-\pi x}{2})+{\frac{\pi {(\frac{x}{2})}^2}{2}}\)

Mais álgebra:

\(A=x\times(\frac{P-x-\pi x}{2})+{\frac{\frac{\pi x^2 }{4}}{2}\)

\(A=x\times(\frac{P-x-\pi x}{2})+{\frac{\pi x^2}{8}\)

\(A=\frac{Px-x^2-\pi x^2}{2}+{\frac{\pi x^2}{8}\)

\(8A=4Px-4x^2-4 \pi x^2+\pi x^2\)

\(8A=4Px-x^2(4+4 \pi -\pi )\)

\(A=\frac{1}{8}[4Px-x^2(4+4 \pi -\pi )]\)

\(A=\frac{Px}{2}-\frac{1}{8}[x^2(4+4 \pi -\pi )]\)

\(A=\frac{Px}{2}-\frac{(4+4 \pi -\pi)x^2}{8}\)

Como desejamos o máximo de área, faremos a derivada em relação a 'x':

\(\frac{dA}{dx}=\frac{P}{2}-\frac{(4+4 \pi -\pi)x}{4}\)

Igualando a derivada a zero,

\(\frac{P}{2}-\frac{(4+4 \pi -\pi)x}{4}=0\)

O que desejamos saber 'x':

\(x=\frac{4 P}{2(4+4\pi-\pi)}\)

\(x=\frac{2 P}{(4+4\pi-\pi)}\)

Como o raio 'r' do semicírculo já arbitrei como \(\frac{x}{2}\),

\(r=\frac{P}{(4+3\pi)}\)

Bem, agora é ficar sob as críticas,

abração,

Mauro

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"

Vamos lá...
Consideremos o semicírculo de raio 'r' e o retângulo de lados 'x' e 'y', de tal forma que \(x=2r\). Tomando-se um perímetro 'p' constante, vem as seguintes relações do perímetro e da área:

\(p=2y+2r+\pi r\)
\(A=2yr+\frac{\pi}{2}r^2\)

Isolando 'y' na equação do perímetro temos que \(y=\frac{p-(2+\pi)r}{2}\).
Substituindo na equação da área fica: \(A=pr-\left ( \frac{\pi+4}{2} \right )r^2\).

Para encontrarmos a área máxima, tomamos a derivada de A em relação a 'r' e igualamos a zero:

\(\frac{dA}{dr}=0=p-(\pi+4)r\rightarrow r=\frac{p}{(\pi+4)}\)

Espero ter ajudado,
qualquer dúvida, sinalize.

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"A Matemática é a linguagem com o qual Deus escreveu o universo"
Galileu Galilei