olá.
O domínio será \(x-2>0 \rightarrow x>2\), já que não existe logaritmando negativo.
para a monotonia,vamos utilizar derivadas para obter os intervalos de crescimento e decrescimento da função:
\(\\\\ f(x)=ln(x-2)+x \\\\ f'(x)=\frac{1}{x-2}+1 \\\\ f'(x)=\frac{x-1}{x-2}\)
se você fizer o quadro de sinais obterá \(\\\\ \left ( -\infty ,1 \right )\) intervalo crescente, \(\\\\ \left ( 1 ,2 \right )\) intervalo descrescente , \(\\\\ \left ( 2,+\infty \right )\) crescente novamente.
agora os extremos ,vamos utilizar o teste da primeira derivada.
\(\\\\ f'(x)=\frac{x-1}{x-2}\)
feito o teste da primeria derivada obteríamos x=1 ponto de máximo e x=2 ponto de mínimo,mas notemos que 1 e 2 não fazem parte do domínio de f(x),então o teste da primeira derivada não se aplica a esta função.Então eu acho que podemos argumentar que essa função não possui máximos ou mínimos.
att
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