Olá Daniel
Esta é bem puxada
Vou pôr os cálculos que fiz até agora
de II)
\(f(2n) = 2 . f(n) + {1} \\\\ substitutindo \ n \ por \ 2n \\\\ f(4n)=2f(2n)+{1}=2(2 . f(n) + {1})+{1} =4f(n)+3\\ f(8n)=2f(4n)+{1}=2(4f(n)+3)+{1}=8f(n)+7\\ f(16n)=2(8n)+{1}=2(8f(n)+7)+{1}=16f(n)+15\\\\ generalizando\\\\ f(32n)=2f(16n)+{1}=\\ =2(16f(n)+15)+1=\\ =32f(n)+2.(2.7+1)+1=\\ =32f(n)+2.(2.(2.(2+1)+{1})+{1})+{1}\\\\ continuando \ a \ generalizar\\\\ f(2^k)=2^k+{2}.({2}.({2}.({2}.(.....)...+{1})+{1})+{1})+{1}=\\ =2^k+{2}.{2}.{2}.{2}....+{8}+{4}+{2}+{1}=\\ =2^k+2^{k-1}+\sum_{i=0}^{k-2}2^i=\\ =2^k+2^{k-1}+\frac{1-2^{k-1}}{{1}-{2}}=\\ ={2}.2^k-{1}\\\\ entao\\\\ f(2^k)={2}.2^k-{1}\)