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| Determinar a função a partir das raízes e valor máximo https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=21&t=4208 |
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| Autor: | paulocezzzar [ 05 nov 2013, 16:36 ] |
| Título da Pergunta: | Determinar a função a partir das raízes e valor máximo |
Olá pessoal! Minha dúvida é sobre essa questão: Determine a função polinomial y que tem como raízes x=0, x=1,5 e x=4, e um valor máximo de y=1. Em seguida, calcule o valor mínimo da função. Eu sei que, se a função tem três raízes, ela é do tipo y = axˆ3 + bxˆ2 + cx + d. Então o objetivo da questão seria encontrar a, b, c e d. Substituindo x=0, eu encontro que d=0. Substituindo x=1,5, eu encontro que 2,25a + 1,5b + c = 0 Substituindo x=4, eu encontro que 16a + 4b + c = 0 Estou com dificuldade em achar a terceira equação, para formar um sistema de 3 equações e 3 incógnitas. Se alguém puder ajudar, eu agradeço muito! Valeu! |
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| Autor: | Sobolev [ 05 nov 2013, 17:02 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Determinar a função a partir das raízes e valor máximo [resolvida] |
Se se trata de um polinómio de grau 3 com as raízes que refere então será da forma \(p(x)= A (x-0)(x-1.5)(x-4),\) Os possíveis extremantes (locais) são atingidos em pontos onde a derivada se anula, isto é, ficamos limitados âs seguintes possibilidades: \(x = 2/3 \quad \vee \quad x = 3\) Por exemplo, como f(2/3)= 50 A / 27, se escolhermos A= 27/50 o polinómio assim obtido terá um maximizante local no ponto x = 2/3, sendo o valor do máximo precisamente 1. Nesse caso o mínimo será f(3)=-243/100. Repare no entanto que esta solução não é única... Se escolher A=-2 / 9 o polinómio atinge o valor máximo de 1 em x =3 e o valor mínimo de -100/243 em x = 2/3. |
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