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| Periodicidade de função com raiz https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=21&t=4421 |
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| Autor: | magicayro [ 25 nov 2013, 04:50 ] |
| Título da Pergunta: | Periodicidade de função com raiz |
A função \(y=cos\left ( \sqrt{k}x)+\left ( sin\left ( \sqrt{k}x))/\sqrt{k}\) com K >0 é periódica se, e somente se: a) K pertence aos Q b) \(\sqrt{k}\) pertence aos Q c) K pertence aos R A resposta correta é a letra b. Não consegui entender o porquê. Alguém, please? |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 25 nov 2013, 09:53 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Periodicidade de função com raiz |
uma questão intrigante... tente usar a definição de função periódica para todo o \(x, \ f(x)=f(x+T)\) onde \(T\) é o periodo \(f(x+T)=cos\left ( \sqrt{k}x+\sqrt{k}T)+\left ( sin\left ( \sqrt{k}x+\sqrt{k}T))/\sqrt{k}\) tente desenvolver, lembrando-se das regras trigonométricas de \(cos(a+b)\) e de \(sen(a+b)\) |
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| Autor: | magicayro [ 25 nov 2013, 21:28 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Periodicidade de função com raiz |
Obrigado mais uma vez J.P. Ferreira. Mas resolvendo como você sugeriu eu cheguei à conclusão de que "raiz de K" pertence aos naturais  Essa, inclusive, era uma das alternativas dessa questão, mas não a correta. Posso ter feito a análise errada, mas segue como eu fiz: Anexo: fotum2.png [ 330.63 KiB | Visualizado 2239 vezes ] |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 26 nov 2013, 00:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Periodicidade de função com raiz [resolvida] |
pareceram-me bem as contas exceto (estou pensando alto) \(\sqrt{k}T=2\pi n\) \(\sqrt{k}=\frac{2\pi n}{T}\) Fazendo \(T\) um múltiplo qualquer de \(\pi\) ficando \(T=k\pi\) tem-se \(\sqrt{k}=\frac{2\pi n}{k\pi}=\frac{2 n}{k}\) para todo \(k,n \ \in N\) e isso é a definição dos números racionais, ou seja \(Q\) |
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