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| Encontre todas as funções injetoras que satisfazemf(x+y).((fx)+f(y))=f(x.y) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=21&t=4447 |
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| Autor: | Edson Kuroda [ 27 nov 2013, 15:11 ] |
| Título da Pergunta: | Encontre todas as funções injetoras que satisfazemf(x+y).((fx)+f(y))=f(x.y) |
Conto com a ajuda de todos para me ajudar na solução do problema abaixo. Encontre todas as funções injetoras que satisfazemf(x+y).((fx)+f(y))=f(x.y) onde x+y diferente de 0 |
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| Autor: | josesousa [ 05 fev 2014, 15:51 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontre todas as funções injetoras que satisfazemf(x+y).((fx)+f(y))=f(x.y) |
Não tem mais dados sobre as funções ou matéria?? |
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| Autor: | Sobolev [ 05 fev 2014, 16:44 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontre todas as funções injetoras que satisfazemf(x+y).((fx)+f(y))=f(x.y) |
Um ideia para arrancar... Se a relação deve ser verdadeira para todo o x,y com x+y não nulo, então também deve ser verdadeira para y = 0 com x não nulo... Para esse caso temos que, para todo o x não nulo, se deve verificar \(f(x)(f(x)+f(0)) = f(0) \Leftrightarrow (f(x))^2 + f(0) f(x) - f(0)=0 \Leftrightarrow f(x) = \dfrac{-f(0) \pm \sqrt{f^2(0) + 4f(0)}}{2}\) Independentemente da discussão sobre quando é que a expressão está bem definida (não sabemos ao certo do enunciado, por exemplo, se f é uma função real ou complexa), ou qual o sinal a escolher, resulta claro que f deve ser constante (para x não nulo), o que contradiz a hipótese de ser injectiva. Por isso, da forma como o problema está colocado, parece-me que simplesmente não tem solução, isto é, não existe nenhuma função nas condições pedidas. |
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| Autor: | josesousa [ 05 fev 2014, 16:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Encontre todas as funções injetoras que satisfazemf(x+y).((fx)+f(y))=f(x.y) |
Brilhante raciocínio! |
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