Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde!

Estou tentando revolver uma questão da ufrgs (prova 2005), mas travei. A questão é a seguinte:

A partir de dois vértices opostos de um retângulo de dimensões 7 e 5, marcam-se quatro pontos que distam x unidades de cada um desses vértices. Ligando-se esses pontos, como indicado na figura abaixo (imagem anexada), obtém-se um paralelogramo P. Considere a função f, que a cada x pertencente ao intervalo (0,5) associa a área f(x) do paralelogramo P. O conjunto imagem da função f é o intervalo? Resp.: (0,18]

Ok. Cheguei na função:
\(f(x) = -2^2 + 12x\)

Penso que tenho que montar o gráfico, mas estou na dúvida, porque o enunciado fala em conjunto imagem. Até tentei montar o tal gráfico, mas não consegui entender como usar o intervalo (0,5) dado no enunciado. O Xv e o Yv valem, respectivamente, 3 e 18.

Alguém sabe me dizer o que tenho que fazer agora?
Obrigada desde já pela disponibilidade.

Pensa na área do paralelogramo com a área do rectangulo menos as áreas dos quatro triângulos. Nota-se que a área dos dois triângulos, que na imagem aparecem mais pequenos, é dada por \(\frac{x^2}{2}\) e a dos restantes por \(\frac{(7-x)(5-x)}{2}\).
Assim, a função será:
\(f(x)= 7\times 5- x^2 - (7-x)(5-x)=...=x(-2x+12)\);
algo que nos permite deduzir que os zeros são atingidos em x=0 e x=6, logo o máximo da função (parábola com concavidade voltada para baixo) será dada em
\(x=\frac{0+6}{2}=3\), e os mínimos serão dados nos zeros, dado que x é uma distância e portanto sempre positiva.
Desta forma, simplemeste calculamos:
\(f(0)=0\) e \(f(3)=18\).

_________________
Marco Tavares Pereira
Tudo é trivial, para alguém.
http://www.matematicaviva.pt/

Olá, Marco Tavares!
Desculpe pela demora em responder ao post.
Consegui compreender o raciocínio! Muito obrigada pela ajuda!