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Uma função do 2 grau é definida pela lei f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a não nulo.
Determine a soma das coordenadas do vértice desta párabola sabendo que f(-1) = 12, f(1) =4 e f(2)= 9

A) 13/3
B) -2/3
C) 7/3
D) -7/3
E) 1

Olá Lah Lima,
seja bem-vindo(a)!

Sabe-se que \(f(x) = y\), portanto, de \(f(- 1) = 12\) tiramos que:

- quando \(x = - 1\), então \(y = 12\);
- quando \(x = 1\), então \(y = 4\);
- quando \(x = 2\), então \(y = 9\).

Então,

\(f(x) = ax^2 + bx + c \begin{cases} f(- 1) = a \cdot (- 1)^2 + b \cdot (- 1) + c \Rightarrow a - b + c = 12 \\ f(1) = a \cdot (1)^2 + b \cdot (1) + c \Rightarrow a + b + c = 4 \\ f(2) = a \cdot (2)^2 + b \cdot (2) + c \Rightarrow 4a + 2b + c = 9 \end{cases}\)


Podemos resolver o sistema isolando uma variável qualquer de uma das equações e substituí-la nas outras duas, veja:

Equação I :

\(\\ a - b + c = 12 \\ a = b - c + 12\)


Segue,

\(\begin{cases} a + b + c = 4 \\ 4a + 2b + c = 9 \end{cases}\)

\(\begin{cases} (b - c + 12) + b + c = 4 \\ 4(b - c + 12) + 2b + c = 9 \end{cases}\)

\(\begin{cases} b - c + 12 + b + c = 4 \\ 4b - 4c + 48 + 2b + c = 9 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2b = - 8 \Rightarrow \fbox{b = - 4} \\ 6b - 3c = - 39 \end{cases}\)

\(6b - 3c = - 39 \;\; \div (3\)

\(2b - c = - 13\)

\(2 \cdot (- 4) - c = - 13\)

\(- c = - 13 + 8\)

\(\fbox{c = 5}\)


Encontremos \(a\),

\(\\ a = b - c + 12 \\\\ a = - 4 - 5 + 12 \\\\ \fbox{a = 3}\)


Portanto, a equação é dada por \(f(x) = 3x^2 - 4x + 5\)


Por fim, deverá encontrar o vértice da parábola que é dado por \(V = \left ( X_v, Y_v \right ) \Rightarrow V = \left ( \frac{- b}{2a}, - \frac{\Delta}{4a} \right )\)

Tente concluir o exercício, se não conseguir retorne informando as dúvidas, ok?!

Até!

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Daniel Ferreira
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