Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Pessoal boa tarde, estou tentando aprender derivadas mas não consigo entender alguns exercicios (não sei se porque ja pensei de mais :P) vocês podem me ajudar? tentei resolver em calculadoras mas não entendo o resultado...

3) Determine a derivada primeira das seguinte funções:

g) \(f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}\)

j) \(f(x)= sen x.cosx\)

m) \(f(x)= x.e^-^2^x\)

p) \(f(x)= x^2.cos(x+1)\)

g)\(f(x)=\frac{x^2 + 1}{x - 1}\)

Quando falamos de derivada de uma função apresentada sob a forma de fração, seguimos a seguinte fórmula:

f(x)=g/h

f'(x)=(derivada de g * h - derivada de h * g)/(h^2)

desse modo na letra g) teremos:


\(f'(x)=\frac{2x(x-1) -1(x^2+1) }{(x - 1)^2}\)

\(f'(x)=\frac{2x^2 - 2x -x^2 - 1) }{(x^2 - 2x +1}\)

\(f'(x)=\frac{x^2 - 2x - 1 }{x^2 - 2x +1}\)


j) \(f(x)= sinxcosx\)

no caso de função produto a regra para derivação é a seguinte:

f(x) = g*h
f'(x) = derivada de g*h + derivada de h*g

sabemos que:
a derivada de senx é cosx
e que a derivada de cosx é -senx
logo,

f'(x)=cos^2(x) - sen^2(x)

m)\(f(x) = xe^{-2x}\)

usaremos aqui a regra do produto, novamente.

sabemos que:
a derivada de x é 1 (usa-se a regra do expoente - a derivada de x^n é n*x^(n-1) )
a derivada de e^-2x é -2*e^2x (usa-se a regra que afirma que a derivada de e^q é igual a derivada de q*e^q, ou seja, q'(e^q) )

f'(x)= e^(-2x) - 2x*e^(-2x)

p)\(f(x)=x^2.cos(x+1)\)

usaremos, novamente, a regra do produto.

sabemos que:
a derivada de x^2 é 2x
a derivada de cos(x+1) é sen(x+1) (a derivada das funções trigonométricas é feita da seguinte maneira -> f=cos(u) -> f'=u'*(-sen(u)).

f'(x)= -x^(2)*sen(x+1)

Espero que tenha ajudado!