Demonstração em analise real

[ivoski]

Lendo um texto de analise, me depare com 0 ≤ a < ϵ entao a = 0.
onde se prova abaixo. Fiquei em duvida porque pode se afirmar que nos Reais
a é igual a 0?
pois se fizermos a=0,5 e ϵ = 0,6 vai também satisfazer 0 ≤ a < ϵ

Exemplo 3. Se a ∈ R e para todo ϵ > 0 dado, 0 ≤ a < ϵ entao a = 0.
Prova - A hipotese e (Atencao!!!): a ∈ R, para todo ϵ > 0 dado e 0 ≤ a < ϵ.
Suponha, por absurdo, que a ̸= 0.
Da, a < 0 ou a > 0 (pela tricotomia, so vale uma das situacoes).
Como por hipotese a ≥ 0, nao pode ocorrer a < 0. Portanto, a > 0.
Sendo a > 0 e se, em particular, ϵ = a e tomado na hipotese, (fazer isto e possivel, pois a hipotese e verdadeira para todo ϵ > 0 real, logo em particular para ϵ = a), tem-se 0 ≤ a < a. Mas isto e um absurdo pela tricotomia! Logo, a = 0

[Fraol]

Bom dia,

pois se fizermos a=0,5 e ϵ = 0,6 vai também satisfazer 0 ≤ a < ϵ

Ok para esse exemplo, mas a afirmação deve ser válida:

para todo ϵ > 0 dado

Isto é, para qualquer ϵ > 0 a afirmação deve ser válida e isso só ocorre quando a = 0.

Dito de outra forma, se você usar por exemplo, para testar, ϵ > 0 e a ≥ ϵ a afirmação não vale.