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| questão do Iezzi funções 155 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=21&t=4545 |
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| Autor: | hewertonpaes [ 07 dez 2013, 00:35 ] |
| Título da Pergunta: | questão do Iezzi funções 155 |
É dada uma função real tal que:? f(x) * f(y) = f( x + y) f(1) = 2 f( raiz de 2 ) = 4 Calcule f( 3 + raiz de 2) A resposta é 32 |
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| Autor: | mpereira [ 07 dez 2013, 21:57 ] |
| Título da Pergunta: | Re: questão do Iezzi funções 155 |
Ora, usando a primeira propriedade podemos partir a expressão a calcular num produto de f(1) e f(raiz de 2): \(f(3+\sqrt{2})=f(3) \times f(\sqrt{2})=f(1) \times f(1) \times f(1) \times f(\sqrt{2})=2 \times 2 \times 2 \times 4=32\) |
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| Autor: | hewertonpaes [ 08 dez 2013, 13:37 ] |
| Título da Pergunta: | Re: questão do Iezzi funções 155 |
Muito obrigado! |
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| Autor: | santhiago [ 08 dez 2013, 14:52 ] |
| Título da Pergunta: | Re: questão do Iezzi funções 155 [resolvida] |
Bom dia a todos . Só complementando ,uma função que possui a propriedade \(f(x+y) = f(x)f(y)\) é a função f dada por \(f(x) = e^{ax}\) onde a é uma constante . Seja \(f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) de classe \(C^1\) que satisfaz \(f(x+y)=f(x)f(y)\) e suponha o valor inicial dado \(f(x_0) = \lambda >0\) . Determinando a derivada de \(f\) pela definição \(\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f(x) \lim_{h\to 0} \frac{f(h)-1}{h}\) .Como \(f \in C^1\) (hipótese ) então o limite \(\lim_{h\to 0} \frac{f(h)-1}{h}\) é finito e existe ,digamos que ele seja \(k\) . Desta forma, \(f'(x) = k \cdot f(x)\) . Além disso , como \(f(x_0) >0\) então \(f(x) > 0 ,\forall x\) . E assim , temos \(\frac{d}{dx} ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)} = k\) .Tomando-se uma primitiva particular , obtemos \(ln(f(x)) = ln \lambda + \int_{x_0}^x k ds = ln\lambda + (x-x_0)k\) . Logo , \(f(x) = \lambda exp([x-x_0]k)\) . Mas , \(f(x) = f(x+0) = f(x)f(0)\), então \(\lambda exp(-x_0 k) = 1 \Rightarrow ln(\lambda)/x_0 = k\) . E finalmente ,obtemos \(f(x) = \lambda exp([x-x_0]ln(\lambda)/x_0) = \lambda [exp(ln(\lambda))]^{(x-x_0)/x_0} = \lambda^{x/x_0}\) . |
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| Autor: | hewertonpaes [ 12 dez 2013, 13:45 ] |
| Título da Pergunta: | Re: questão do Iezzi funções 155 |
Estou me deparando muito com esta propriedade F(x+y)=f(x).f(y),questões bem mais complexas,tipo do ITA,e não tenho noções de limite e essas coisas,sei que esta daí não precisou,mas outras aqui precisa! |
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| Autor: | santhiago [ 17 dez 2013, 14:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: questão do Iezzi funções 155 |
A forma mais simples é tomar como axioma \(exp(a+b) = exp a exp b\) para quaisquer que seja \(a,b \in \mathbb{R}\) .Em consequência disto , para cada número real \(k > 0\) fixado a função \(f : x \mapsto f(x)= exp (kx)\) satisfaz tal propriedade . Também é possível utilizar técnicas de derivação para mostrar que \(f(x) = \frac{exp(kx +kb)}{exp(kx)}\) (para b fixado ) é constante e é igual \(exp(kb)\) e portanto satisfaz tal propriedade , mas como não estudou limite muito menos derivada ,não faz sentido falar sobre isto . E claro ,também é possível demostrar a propriedade \(a^{b+c} =a^b a^c\) p/ todo a > 0 e \(b,c\) reais . Ainda não tentei,mas acho que dá para fazer nas seguintes etapas . Primeiro mostrar que a relação é verdadeira para \(b,c\) naturais (podemos fixar b e utilizar indução sobre c) e de forma análoga ,mostrar que a relação também é verdadeira p/ b,c inteiros .Agora,esta próxima etapa seria um pouco mais complicada , seria mostra que a relação se verifica para \(b,c\) racionais e por último mostrar a propriedade vale para c,b reais quaisquer. |
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