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Boa tarde

Como calculo as Assintotas não verticais desta função:

f(x)=1/5 + ln(1+e^x)

?



Obrigada

Da definição de assintotas horizontais , sabemos que é uma assintota horizontal caso: \(\lim_{ x \rightarrow \pm \infty }f(x) =a\), onde \(a\) é número real.



então:


\(\lim_{ x \rightarrow +\infty }\;\; \frac{1}{5}+\ln(1+e^x)=+\infty\)

\(\lim_{ x \rightarrow -\infty }\;\; \frac{1}{5}+\ln(1+e^x)=\frac{1}{5}\)



então a única assintota horizontal é \(y=\frac{1}{5}\).

E também não tem uma Assintota Obliqua?

sabemos que a assintota obliqua existe se e somente se : \(\lim_{ x \rightarrow +\infty }[f(x)-(mx+b)]=0\) ou \(\lim_{ x \rightarrow -\infty }[f(x)-(mx+b)]=0\)



e coeficiente angular é obtido por : \(m=\lim_{ x \rightarrow +\infty }\; \frac{f(x)}{x}\) ou : \(m=\lim_{ x \rightarrow -\infty }\; \frac{f(x)}{x}\) e \(b\) é obtido por \(b=\lim_{ x \rightarrow +\infty }\;\; [f(x)-mx]\) ou : \(b=\lim_{ x \rightarrow -\infty }\;\;[f(x)-mx]\).


então : \(m=\lim_{ x \rightarrow +\infty }\;\; \frac{\frac{1}{5}+\ln(1+e^x)}{x}=1\) e \(m=\lim_{ x \rightarrow -\infty }\;\; \frac{\frac{1}{5}+\ln(1+e^x)}{x}=0\) quando \(m=0\) trata-se da assintota horizontal encontrada anteriormente.



e \(b=\lim_{ x \rightarrow +\infty }\;\;\frac{1}{5}+\ln(1+e^x)-x=\frac{1}{5}\) e \(b=\lim_{ x \rightarrow -\infty }\;\;\frac{1}{5}+\ln(1+e^x)-x=+\infty\) .



segue a reta é \(y=x+\frac{1}{5}\), como podemos ver pela definição é uma assintota obliquoa:

\(\lim_{ x \rightarrow +\infty }\;\; \frac{1}{5}+\ln(1+e^x)-x-\frac{1}{5}=0\) e \(\lim_{ x \rightarrow -\infty }\;\; \frac{1}{5}+\ln(1+e^x)-x-\frac{1}{5}=+\infty\)