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Por hipótese do problema, dado \(\varepsilon >0\), \(\exists \delta >0\) tal que, \(x\in D, 0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon\). Suponha que para um \(x\rightarrow a\) em \(E\) não exista tal limite. Então, \(\exists \varepsilon>0\)
tal que, para qualquer \(\delta >0\), \(x\in E,0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|\ge \varepsilon\). Mas \(x\in E\Rightarrow x\in D\)
, pois \(E\subset D\). Então \(\exists \varepsilon>0\), tal que, para qualquer \(\delta >0, x\in D, 0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|\ge \varepsilon\). Mas isto é a negação da hipótese. Logo, para \(x\rightarrow a\) em \(E\), tem que existir o limite.