Reescrevendo a função Raiz de 2.

[engenharia]

Boa tarde,

Gostaria da ajuda de vocês, para reescrever a função: raiz(2).

Tenho essas alternativas, porém em iteração de aproximações sucessivas não consegui realizar com nenhuma delas.

X= X² + X - 2

X= 2 / X

X = 2 * Raiz(x)


Obrigado a todos.

[Sobolev]

Tem que escolher a função iteradora e o valor inicial de modo que sejam verificadas as condições do teorema do ponto fixo ( afunção iteradora deve ser invariante e contractiva em determinado intervalo, no qual deve ser escolhido a aproximação inicial)... Uma possibilidade é:

\(x_0 = 1
x_{n+1} = 0.1 x_n^2 - 0.2 + x_n\)

[engenharia]

Bom dia, amigo.

Eu realizei a iteração dada essa sua função, porém o resultado não concluiu 1, 4142........

Uma função que quase me aproximei do resultado foi 2/raiz (x + 0, 6), mas sei que esta errado.

Se puder me explicar melhor ficaria mtp agradecido.

Obrigado

[Sobolev]

Eu troquei um sinal... se usar

\(x_0=1
x_{n+1} = -0.1 x_n^2+0.2+x_n\)

Ao fim de 100 iterações obtém 1.414213562, em que todas as casas decimais são correctas. Em geral, se a função iteradora for diferenciáveis e a sua derivada num intervalo que contenha a solução (ponto fixo) for em módulo inferior a 1, a sucessão dada pela iteração converge para a solução, desde que a aproximação inicial seja suficientemente próxima da solução. no link seguinte pode encontrar mais detalhes:

http://www.math.ist.utl.pt/~calves/courses/eqn/capii212.html

[engenharia]

Entendi amigo, desse jeito deu certo, se não for pedir muito, poderia entender sua linha de raciocínio, pois a minha era deixar o x na função sem me preocupar em alterar o valor de 2.

Muito obrigado pela ajuda.

[Sobolev]

Para utilizar o método do ponto fixo é necessário escrever a equação na forma x = g(x), porém existe uma infinidade de maneiras de o fazer. Para algumas destas funções g a iteração converge, enquanto que para outras não converge. O teorema do ponto fixo que referi antes fornece um conjunto de condições suficientes para garantir a convergência da iteração. Neste caso concreto, uma das equações que propôs inicialmente foi

\(x = x^2+x-\textrm{2}\).

Essa equação é equivalente a \(x^2-2=\textrm{0}\), pelo que \(\sqrt(2)\) é uma das suas soluções. No entanto, ao calcular a derivada de g neste caso obtemos \(g'(x) = 2x+1\), que é maior do que 1 em intervalos que contém a solução pretendida. Deste modo a iteração não pode convergir. A iteração que propus é também equivalente à equação inicial, mas já não tem este problema

\(x^2-2=0 \Leftrightarrow
0 = -x^2+2 \Leftrightarrow
0 = -0.1\times x^2 +0.1 \times x \Leftrightarrow
x = x - 0.1 x^2 +0.2\)

[engenharia]

Muito obrigado pela ajuda. Os próximos exercícios manterei essa linha de raciocínio. Grande abraço.