Sistema de equações 1º Grau

[Mut4nt]

Boas, alguém me pode explicar como resolver o seguinte sistema de equações?

{x-1/5 = 1/2z
{2x - 2z = 1

Agradeço a ajuda.
Ass: Luis Ferreira

[Rilke]

Supondo que a primeira equação seja.

\(x-\frac{1}{5}=\frac{1}{2}z\)

e não

\(x-\frac{1}{5}=\frac{1}{(2z)}\)

Temos o sistema a ser resolvido como

\(\begin{cases}
x-\frac{1}{5}=\frac{1}{2}z\\
2x-2z=1
\end{cases}\)

Da primeira equação temos:

\(x-\frac{1}{5}=\frac{1}{2}z\\
\frac{5x-1}{5}=\frac{1}{2}z\\
5x-1=\frac{5}{2}z\\
5x=\frac{5}{2}z + 1\\
5x=\frac{5}{2}z + \frac{2}{2}\\
5x=\frac{5z+2}{2}\\
x=\frac{5z+2}{10}\\\)

Substituindo \(x\) na segunda equação temos:

\(2x-2z=1\\
2(\frac{5z+2}{10})-2z=1\\
\frac{10z+4}{10}-2z=1\\
\frac{10z+4}{10}-\frac{20z}{10}=1\\
10z+4-20z=10\\
-10z+4=10\\
-10z=-4+10\\
-10z=6\\
z=-\frac{3}{5}\\\)

Substituindo \(z\) na segunda temos: (poderia ser na primeira)

\(2x-2z=1\\
2x-2(-\frac{3}{5})=1\\
2x+2(\frac{3}{5})=1\\
2x+(\frac{6}{5})=1\\
2x=(\frac{-6}{5})+1\\
2x=(\frac{-6}{5})+\frac{5}{5}\\
2x=\frac{5-6}{5}\\
2x=\frac{-1}{5}\\
x=-\frac{1}{10}\\\)

Portanto a solução fica

\((x,z)=(-\frac{1}{10},\; -\frac{3}{5})\)

Uma verificadinha substituindo na primeira equação

\(x-\frac{1}{5}=\frac{1}{2}z\\
(-\frac{1}{10})-\frac{1}{5}=\frac{1}{2}(-\frac{3}{5})\\
(-\frac{1}{10})-\frac{2}{10}=-\frac{3}{10}\\
-\frac{3}{10}=-\frac{3}{10}\\\)

Uma verificadinha substituindo na segunda equação

\(2x-2z=1\\
2(-\frac{1}{10})-2(-\frac{3}{5})=1\\
-\frac{2}{10}+\frac{6}{5}=1\\
-\frac{2}{10}+\frac{12}{10}=1\\
\frac{12-2}{10}=1\\
\frac{10}{10}=1\\\)

Uma maneira mais rápida é colocar uma equação abaixo da outra com as variáveis alinhadas e então multiplicar dos dois lados até que uma das colunas seja igual a (-) menos a outra; podemos agora somar as equações e uma das variáveis irá sumir restando apenas isolar a outra. Veja.

\(\begin{cases}
x-\frac{1}{5}=\frac{1}{2}z\\
2x-2z=1
\end{cases}\)

\(x-\frac{1}{2}z=\frac{1}{5}\\
(-2)x-(-2)\frac{1}{2}z=(-2)\frac{1}{5}\\
-2x+\frac{2}{2}z=-\frac{2}{5}\\
-2x+z=-\frac{2}{5}\\\)

Somando

\(\begin{cases}
\cancel{-2x}+z=-\frac{2}{5}\\
\cancel{2x}-2z=1
\end{cases}\\
z-2z=1-\frac{2}{5}
-z=\frac{5-2}{5}
z=-\frac{3}{5}\)

Agora vamos cortar o \(z\)

\(x-\frac{1}{2}z=\frac{1}{5}\\
(-4)x-(-4)\frac{1}{2}z=(-4)\frac{1}{5}\\
-4x+2z=-\frac{4}{5}\\\)

Somando

\(\begin{cases}
-4x\cancel{+2z}=-\frac{4}{5}\\
2x\cancel{-2z}=1
\end{cases}\\
2x-4x = 1-\frac{4}{5}
-2x=\frac{5-4}{5}
-2x=\frac{1}{5}
x=-\frac{1}{10}\)


Bons estudos.